Каково ускорение точки в указанные моменты времени, если скорость точки, движущейся прямолинейно, задана следующим

Для решения данных задач по ускорению точки, необходимо использовать следующую формулу:

\[a(t)=\frac{{d}}{{dt}}v(t)\]

где \(a(t)\) - ускорение точки в момент времени \(t\), а \(v(t)\) - скорость точки в момент времени \(t\).

1) Для определения ускорения точки в момент времени \(t=3\), когда скорость точки задана формулой \(v(t)=t^2+t-1\), мы должны взять производную этой функции по времени:

\[a(t)=\frac{{d}}{{dt}}(t^2+t-1)\]

Вычисляя производную, получаем:

\[a(t)=2t+1\]

Теперь можно подставить \(t=3\) в уравнение:

\[a(3)=2\cdot3+1=7\]

Таким образом, ускорение точки в момент времени \(t=3\) равно 7.

2) Поскольку равенство \(s=\sqrt{t}\) выполняется при \(t=1\), нам нужно найти скорость точки в момент времени \(t=1\) и затем вычислить ускорение.

Начнем с нахождения скорости точки. Для этого возьмем производную по времени от уравнения \(s=\sqrt{t}\):

\[v(t)=\frac{{d}}{{dt}}(\sqrt{t})\]

\[v(t)=\frac{{1}}{{2\sqrt{t}}}\]

Теперь подставим \(t=1\) в полученное выражение:

\[v(1)=\frac{{1}}{{2\sqrt{1}}}=\frac{{1}}{{2}}\]

И наконец, чтобы найти ускорение точки в момент времени \(t=1\), найдем производную скорости по времени:

\[a(t)=\frac{{d}}{{dt}}\left(\frac{{1}}{{2\sqrt{t}}}\right)\]

\[a(t)=-\frac{{1}}{{4t\sqrt{t}}}\]

Подставим \(t=1\):

\[a(1)=-\frac{{1}}{{4\cdot1\cdot\sqrt{1}}}=-\frac{{1}}{{4}}\]

Таким образом, ускорение точки в момент времени \(t=1\) равно \(-\frac{{1}}{{4}}\).

3) Для определения ускорения точки в указанном моменте времени, когда путь точки задан уравнением \(s(t)=t^2+11t+30\), мы снова должны найти производную скорости по времени:

\[a(t)=\frac{{d}}{{dt}}(t^2+11t+30)\]

Вычислив производную, получаем:

\[a(t)=2t+11\]

Таким образом, ускорение точки в указанном моменте времени будет равно \(2t+11\), где \(t\) - значение указанного момента времени.

Надеюсь, это подробное объяснение будет полезно для вашего понимания ускорения точки в заданных моментах времени! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.