Каковы экстремумы и интервалы возрастания и убывания функции f(x)=x^3-5/2x^2-22x+1?

Для нахождения экстремумов и интервалов возрастания и убывания функции \(f(x) = x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 22x + 1\), будем следовать следующим шагам:

Шаг 1: Найдем производную функции \(f"(x)\).
Шаг 2: Найдем точки, в которых \(f"(x) = 0\) или \(f"(x)\) не существует.
Шаг 3: Построим знакопостоянство производной \(f"(x)\), чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции.
Шаг 4: Определим экстремумы функции в точках, где производная меняет знак.

Начнем с шага 1.
Производная функции \(f(x)\) может быть найдена путем применения правила дифференцирования для каждого слагаемого функции по отдельности:
\[f"(x) = 3x^2 - 5x - 22\]

Перейдем ко второму шагу.
Чтобы найти точки, в которых \(f"(x) = 0\), решим уравнение \(f"(x) = 0\):
\[3x^2 - 5x - 22 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]
где \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = -22\).

Вычислим значение дискриминанта:
\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-22) = 25 + 264 = 289\]

Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у нас есть два различных корня:
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 17}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 17}{6} = -\frac{12}{6} = -2\]

Пошаговый список действий показал значения корней уравнения \(f"(x) = 0\) - \(\frac{11}{3}\) и -2.

Перейдем к шагу 3.
Определим знакопостоянство производной \(f"(x)\). Для этого выберем произвольные значения x в каждом из интервалов (-∞, -2), (-2, \frac{11}{3}) и (\frac{11}{3}, +∞) и проверим, как меняется знак производной.

При \(x=-3\) получим:
\[f"(-3) = 3(-3)^2 - 5(-3) - 22 = 27 + 15 - 22 = 20 > 0\]

При \(x=0\) получим:
\[f"(0) = 3(0)^2 - 5(0) - 22 = -22 < 0\]

При \(x=4\) получим:
\[f"(4) = 3(4)^2 - 5(4) - 22 = 48 - 20 - 22 = 6 >0\]

Таким образом, производная \(f"(x)\) положительна на интервале (-∞, -2) и (4, +∞), и отрицательна на интервале (-2, \frac{11}{3}).

Продолжим наш шаг 3.
На интервале (-∞, -2) и (4, +∞) функция \(f(x)\) возрастает, поскольку производная \(f"(x)\) положительна на этих интервалах.

На интервале (-2, \frac{11}{3}) функция \(f(x)\) убывает, так как производная \(f"(x)\) отрицательна на этом интервале.

В шаге 4 мы определим точки, в которых производная \(f"(x)\) меняет знак, чтобы найти экстремумы функции \(f(x)\). В данном случае это происходит при \(x=-2\) и \(x=\frac{11}{3}\).

Теперь, найдем значения функции \(f(x)\) в этих точках:
\[f(-2) = (-2)^3 - \frac{5}{2} (-2)^2 - 22 (-2) + 1 = -8 + 10 + 44 + 1 = 47\]
\[f\left(\frac{11}{3}\right) = \left(\frac{11}{3}\right)^3 - \frac{5}{2} \left(\frac{11}{3}\right)^2 - 22 \left(\frac{11}{3}\right) + 1 = \frac{1331}{27} - \frac{605}{9} - \frac{484}{3} + 1 = -\frac{700}{27}\]

Таким образом, экстремумы функции \(f(x)\) находятся при \(x=-2\) и \(x=\frac{11}{3}\), а их значения равны 47 и \(-\frac{700}{27}\) соответственно.

Итак, мы нашли экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания:

1. Экстремумы функции:
a) Максимум: \(x = -2\), \(f(-2) = 47\)
б) Минимум: \(x = \frac{11}{3}\), \(f\left(\frac{11}{3}\right) = -\frac{700}{27}\)

2. Интервалы возрастания: (-∞, -2) и (4, +∞)
3. Интервалы убывания: (-2, \frac{11}{3})