Каково уравнение плоскости, которая проходит через точку P(3;-2;-4) и параллельна плоскости 4х-5у+2z+11=0?

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку P(3;-2;-4) и параллельной плоскости 4х-5у+2z+11=0, мы можем использовать свойство параллельности: плоскости, параллельные друг другу, имеют нормали, которые сонаправлены (или имеют противоположное направление).

Начнём с нахождения нормали для заданной плоскости. Уравнение плоскости имеет общий вид Ax+By+Cz+D=0, где A, B и C - коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости. В нашем случае у нас уравнение 4х-5у+2z+11=0.

Чтобы найти нормаль к этой плоскости, посмотрим на коэффициенты при х, у и z в уравнении. Коэффициенты перед х, у и z соответственно равны 4, -5 и 2.

Таким образом, нормаль к данной плоскости будет иметь координаты (4, -5, 2).

Теперь, учитывая, что плоскость, которую мы ищем, параллельна данной плоскости, она также должна иметь такую же нормаль.

Используем найденную нормаль (4, -5, 2) и точку, через которую проходит плоскость P(3;-2;-4), чтобы составить уравнение итоговой плоскости.

Уравнение плоскости имеет вид (x-x₀)A + (y-y₀)B + (z-z₀)C = 0, где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки P, а A, B и C - коэффициенты нормального вектора.

Подставляя значения, получим: (x-3)4 + (y+2)(-5) + (z+4)2 = 0.

Далее, раскроем скобки и приведем подобные члены: 4x - 12 - 5y - 10 + 2z + 8 = 0.

Упростим это уравнение: 4x - 5y + 2z - 14 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, которая проходит через точку P(3;-2;-4) и параллельна плоскости 4х-5у+2z+11=0, равно 4x - 5y + 2z - 14 = 0.

Я надеюсь, что это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи. Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас есть еще вопросы.