Каково уравнение окружности, описанной около треугольника m(- 3 ; 0 ), n( 1 ; 3 ), k(5;0) в прямоугольной системе

Чтобы найти уравнение окружности, описанной около треугольника, нам понадобится найти координаты центра окружности и ее радиус.

1. Найдем координаты середины отрезка, соединяющего точки m(-3;0) и n(1;3), чтобы найти центр окружности. Для этого нужно найти среднее арифметическое их координат.

x-координата центра: \(\frac{{-3 + 1}}{2} = -1\)

y-координата центра: \(\frac{{0 + 3}}{2} = \frac{3}{2}\)

Значит, координаты центра окружности - (-1, \(\frac{3}{2}\)).

2. Теперь, найдем радиус окружности - расстояние от центра до любой из вершин треугольника. Примем за радиус расстояние от центра до точки m(-3;0).

Радиус - расстояние между точками - это длина отрезка, которую можно найти по формуле расстояния между двумя точками:

\[r = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Заменим значения точек в формуле:

\[r = \sqrt{{(-3 - (-1))^2 + (0 - \frac{3}{2})^2}} = \sqrt{{2^2 + (-\frac{3}{2})^2}} = \sqrt{{4 + \frac{9}{4}}} = \sqrt{{\frac{16}{4} + \frac{9}{4}}} = \sqrt{{\frac{25}{4}}} = \frac{5}{2}\]

3. Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид:

\((x + 1)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2\)

Или можно раскрыть скобки:

\(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 3y + \frac{9}{4} = \frac{25}{4}\)

Упростим уравнение:

\(x^2 + y^2 + 2x - 3y + 1 - \frac{16}{4} = 0\)

Получаем окончательное уравнение окружности:

\(x^2 + y^2 + 2x - 3y - \frac{15}{4} = 0\)

Это и есть уравнение окружности, описанной около треугольника с вершинами m(-3;0), n(1;3) и k(5;0) в прямоугольной системе координат.