Каково уравнение касательной к графику кривой в точке (1; 1), если уравнение кривой задано как y = 1/3x^3 + 1/2x^2

Чтобы найти уравнение касательной к графику кривой в заданной точке, мы должны определить ее угловой коэффициент и точку пересечения с осью ординат. Итак, давайте найдем производную от заданного уравнения и подставим координаты точки (1; 1).

Начнем с заданного уравнения:
\[y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x - \left(1 + \frac{5}{6}\right)\]

Для нахождения производной, мы берем производную каждого слагаемого по отдельности.
Производная слагаемого \(\frac{1}{3}x^3\) равна \(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3\right) = x^2\).
Производная слагаемого \(\frac{1}{2}x^2\) равна \(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right) = x\).
Производная слагаемого \(2x\) равна \(\frac{d}{dx}(2x) = 2\).
Производная слагаемого \(-\left(1 + \frac{5}{6}\right)\) равна 0, поскольку это константа.

Теперь сложим найденные производные и получим уравнение касательной в любой точке, включая точку (1; 1). Таким образом, уравнение касательной имеет вид:
\[y" = x^2 + x + 2\]

Чтобы найти значение углового коэффициента касательной в точке (1; 1), подставим x = 1 в уравнение:
\[y" = 1^2 + 1 + 2 = 4\]

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке (1; 1) равен 4.

Теперь найдем точку пересечения касательной с осью ординат (y-осью). Для этого подставим x = 1 и y = 1 в уравнение касательной и решим его относительно y:
\[1 = 1^2 + 1 + 2y\]
\[1 = 1 + 1 + 2y\]
\[0 = 2y\]
\[y = 0\]

Таким образом, точка пересечения касательной с осью ординат (y-осью) - это точка (0; 0).

Итак, уравнение касательной к заданной кривой в точке (1; 1) имеет вид:
\[y - 1 = 4(x - 1)\]

Или, если записать его в стандартной форме:
\[y = 4x - 3\]

Это уравнение описывает касательную к графику кривой в заданной точке (1; 1).