Пожалуйста, выполните вычисление выражения (квадратный корень из 6 + квадратный корень из 2) в квадрате плюс

Конечно! Начнём с вычисления выражения \((\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2\). Давайте разберёмся с каждым слагаемым отдельно:

1. \((\sqrt{6} + \sqrt{2})^2\):

Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться формулой квадрата суммы двух чисел:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

В нашем случае, \(a = \sqrt{6}\), а \(b = \sqrt{2}\), поэтому:

\((\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\).

Упростим каждое слагаемое:

\((\sqrt{6})^2 = 6\),

\(2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2} = 2\cdot\sqrt{12} = 2\cdot\sqrt{4\cdot3} = 2\cdot 2\cdot\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\),

и \((\sqrt{2})^2 = 2\).

Теперь мы можем просуммировать все слагаемые:

\((\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = 6 + 4\sqrt{3} + 2 = 8 + 4\sqrt{3}\).

2. \((\sqrt{6} - \sqrt{2})^2\):

Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться формулой квадрата разности двух чисел:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

В нашем случае, \(a = \sqrt{6}\), а \(b = \sqrt{2}\), поэтому:

\((\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\).

Упростим каждое слагаемое:

\((\sqrt{6})^2 = 6\),

\(2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{2} = 2\cdot\sqrt{12} = 2\cdot\sqrt{4\cdot3} = 2\cdot 2\cdot\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\),

и \((\sqrt{2})^2 = 2\).

Теперь мы можем просуммировать все слагаемые:

\((\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = 6 - 4\sqrt{3} + 2 = 8 - 4\sqrt{3}\).

Теперь, чтобы получить окончательный результат, нам нужно сложить результаты двух полученных выражений:

\((\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = (8 + 4\sqrt{3}) + (8 - 4\sqrt{3})\).

Сумма \(8 + 8\) равна \(16\), а \(4\sqrt{3} - 4\sqrt{3}\) обращается в ноль. Таким образом, окончательный ответ:

\((\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = 16\).