Каково уравнение движения массы 1 кг, подвешенной на пружине с жесткостью 100 Н/м и выполняющей колебания амплитудой

Для решения данной задачи, нам пригодится закон Гука. Согласно закону Гука, сила \(F\) пружины пропорциональна её удлинению \(x\) и обратно пропорциональна жесткости \(k\) пружины:

\[F = -kx\]

где минус перед \(kx\) означает, что сила направлена в противоположную сторону относительно удлинения \(x\).

Мы уже знаем, что жесткость \(k\) пружины равна 100 Н/м, а амплитуда колебаний равна 10 см, или 0.1 м.

Чтобы найти уравнение движения массы \(m\) пружины, мы должны определить зависимость \(x(t)\), где \(t\) - время.

Уравнение движения будет иметь вид:

\[m \cdot \frac{{d^2 x}}{{dt^2}} = -kx\]

где \(\frac{{d^2 x}}{{dt^2}}\) представляет собой вторую производную \(x\) по \(t\).

Подставляя известные значения, получаем:

\[1 \cdot \frac{{d^2 x}}{{dt^2}} = -100x\]

Теперь у нас есть дифференциальное уравнение, описывающее движение массы на пружине. Для его решения обычно используют метод введения понятия угловой частоты \(\omega\), который определяется следующим образом:

\(\omega = \sqrt{\frac{{k}}{{m}}}\)

В нашем случае:

\(\omega = \sqrt{\frac{{100}}{{1}}} = 10\)

Таким образом, уравнение движения можно переписать в виде:

\(\frac{{d^2 x}}{{dt^2}} + 100x = 0\)

Чтобы решить это уравнение, предположим, что решение имеет вид:

\(x(t) = A\sin(\omega t + \phi)\),

где \(A\) - амплитуда колебаний, \(\omega\) - угловая частота, \(t\) - время, \(\phi\) - начальная фаза колебаний.

Возьмем производные \(x(t)\):

\(\frac{{dx}}{{dt}} = A\omega\cos(\omega t + \phi)\),

\(\frac{{d^2 x}}{{dt^2}} = -A\omega^2\sin(\omega t + \phi)\).

Подставляем эти значения в уравнение:

\(-A\omega^2\sin(\omega t + \phi) + 100A\sin(\omega t + \phi) = 0\).

Упрощаем:

\((100 - \omega^2)A\sin(\omega t + \phi) = 0\).

Так как \(\omega = 10\) и \((100 - \omega^2) > 0\), решением уравнения будет:

\(A\sin(\omega t + \phi) = 0\).

Это означает, что \(A = 0\) или \(\sin(\omega t + \phi) = 0\).
Если \(A = 0\), то пружина не будет иметь каких-либо колебаний, что не является интересным в данной задаче.

Следовательно, для колеблющейся пружины имеем:

\(\sin(\omega t + \phi) = 0\).

Это возможно только в двух случаях: когда \(\omega t + \phi = 0\) или \(\omega t + \phi = \pi\).

Итак, у нас есть два возможных значения выражения \(\omega t + \phi\): 0 и \(\pi\).

Когда \(\omega t + \phi = 0\), получаем:

\(10t + \phi = 0\).

Когда \(\phi = 0\) (выбирается для удобства), получаем:

\(10t + 0 = 0\).

Отсюда находим:

\(t = 0\).

То есть, максимальное значение силы достигается, когда \(t = 0\).

Когда \(\omega t + \phi = \pi\), получаем:

\(10t + \phi = \pi\).

Выбираем, например, \(\phi = \pi\), так как \(\phi\) может принимать любое значение.

Подставляем:

\(10t + \pi = \pi\).

Решаем уравнение относительно \(t\):

\(10t = 0\).

Получаем:

\(t = 0\).

То есть, значение силы через \(1/6\) периода также равно 0.

Таким образом, уравнение движения массы 1 кг на пружине с жесткостью 100 Н/м и амплитудой 10 см выглядит следующим образом:

\(x(t) = A\sin(10t)\).

Максимальное значение силы равно 0, а значение силы через \(1/6\) периода также равно 0.