Каково тангенциальное ускорение материальной точки через 2 секунды, если точка вращается по окружности радиусом

Для решения этой задачи нам понадобится использовать следующие формулы и определения:

1. Ускорение в круговом движении определяется как тангенциальное ускорение, которое измеряется в метрах в секунду в квадрате (м/с^2), и равно произведению углового ускорения на радиус окружности: \(a_t = \alpha \cdot r\).

2. Угловое ускорение, в свою очередь, определяется как производная скорости по времени: \(\alpha = \frac{d\omega}{dt}\), где \(\omega\) - угловая скорость.

3. Чтобы найти угловую скорость, нужно использовать формулу: \(\omega = \frac{v}{r}\), где \(v\) - скорость тела, \(r\) - радиус окружности.

4. Для нахождения ускорения в круговом движении, нужно подставить найденное значение углового ускорения и радиус в формулу \(a_t = \alpha \cdot r\).

Теперь произведем вычисления по порядку:

1. Найдем угловую скорость \(\omega\) на 2-ой секунде. Для этого подставим \(t = 2\) в заданную формулу для скорости \(v\):
\[v = (-1) \cdot (2^3) + (-2) + (1) \cdot (2^2) + (2) \cdot 2\]
\[v = -8 - 2 + 4 + 4 = -2 м/с\]
Заметим, что поскольку нас интересует только скорость по модулю, то полученное значение скорости отрицательное и будет равно 2 м/с.

2. Теперь найдем угловую скорость \(\omega = \frac{v}{r}\):
\[\omega = \frac{2}{0.8} = \frac{5}{2} рад/с\]

3. Вычислим угловое ускорение \(\alpha = \frac{d\omega}{dt}\). Для этого найдем производную угловой скорости по времени \(t\):
\[\frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{5}{2}\right) = 0\]

4. Наконец, подставим найденные значения \(\alpha = 0\) и радиус \(r = 0.8\) в формулу для тангенциального ускорения:
\[a_t = \alpha \cdot r = 0 \cdot 0.8 = 0 м/с^2\]

Таким образом, тангенциальное ускорение материальной точки через 2 секунды равно 0 м/с^2.

Теперь перейдем ко второй части задачи и найдем скорость материальной точки через 3 секунды.

1. Найдем скорость \(v\) на 3-ей секунде, подставив \(t = 3\) в заданную формулу для скорости \(v\):
\[v = (-1) \cdot (3^3) + (-2) + (1) \cdot (3^2) + (2) \cdot 3\]
\[v = -27 - 2 + 9 + 6 = -14 м/с\]
Опять же, поскольку нас интересует только скорость по модулю, полученное значение скорости равно 14 м/с.

Таким образом, скорость материальной точки через 3 секунды равна 14 м/с.