Каково среднее значение вектора скорости за первую четверть периода колебаний, если частица колеблется вдоль оси

Чтобы решить эту задачу и найти среднее значение вектора скорости за первую четверть периода колебаний, нам потребуется сначала выразить вектор скорости.

Для начала, найдем производную функции координаты x от времени. Возьмем производную от закона движения x = 0,1sin(6,28t):

\[\frac{dx}{dt} = \frac{d(0,1sin(6,28t))}{dt}\]

Чтобы найти производную, мы можем использовать правило дифференцирования для синуса, которое гласит: \(\frac{d}{dt}(sin(ax)) = acos(ax)\frac{d}{dt}(ax)\).

У нас a = 6,28 и x = t, поэтому получим:

\[\frac{dx}{dt} = 0,1 \cdot 6,28 \cdot cos(6,28t)\]

Функция скорости найдена, но нам нужно найти среднее значение вектора скорости за первую четверть периода колебаний.

Первая четверть периода колебаний соответствует временным значениям от \(t = 0\) до \(t = \frac{T}{4}\), где Т - период колебаний.

Таким образом, нам необходимо найти среднее значение скорости на этом интервале. Чтобы это сделать, мы должны проинтегрировать скорость от \(t = 0\) до \(t = \frac{T}{4}\) и разделить полученное значение на длину этого интервала.

Интегрируем функцию скорости на заданном интервале:

\[\bar{v_x} = \frac{1}{\frac{T}{4}} \int_{0}^{\frac{T}{4}} 0,1 \cdot 6,28 \cdot cos(6,28t) dt\]

Рассчитаем этот интеграл:

\[\bar{v_x} = \frac{1}{\frac{T}{4}} [\frac{0,1 \cdot 6,28}{6,28} \cdot sin(6,28t)]_{0}^{\frac{T}{4}} \]

Упростим:

\[\bar{v_x} = \frac{1}{\frac{T}{4}} [0,1 \cdot sin(6,28 \cdot \frac{T}{4})]\]

\[\bar{v_x} = \frac{1}{\frac{T}{4}} \cdot 0,1 \cdot sin(\frac{T}{4})\]

Осталось только упростить это выражение и получим среднее значение вектора скорости за первую четверть периода колебаний:

\[\bar{v_x} = 0,4 \cdot 0,1 \cdot sin(\frac{T}{4})\]

Таким образом, среднее значение вектора скорости за первую четверть периода колебаний равно \(0,04 \cdot sin(\frac{T}{4})\) м/с.