Каково среднее положение осциллятора и логарифмический декремент затухания колебаний λ, когда три последовательные

Для начала, давайте визуализируем задачу и определим основные параметры.

Рисунок:

        |

        |   |\

        |   | \

        |   |  \

 _______|___|___\_______

На рисунке представлен пружинный маятник. Обозначим его основные параметры:

\(A_1\) - амплитуда первого колебания (8,6 мм)

\(A_2\) - амплитуда второго колебания (-4,1 мм)

\(A_3\) - амплитуда третьего колебания (4,3 мм)

Теперь, чтобы найти среднее положение осциллятора, мы можем взять среднее арифметическое значение амплитуд первого и третьего колебаний:

\[\bar{A} = \frac{{A_1 + A_3}}{2}\]

Подставляя значения, получаем:

\[\bar{A} = \frac{{8,6 + 4,3}}{2} = 6,45 \, \text{мм}\]

Таким образом, среднее положение осциллятора составляет 6,45 мм.

Перейдем к определению логарифмического декремента затухания колебаний, который обозначается буквой \(\lambda\).

Логарифмический декремент затухания определяется следующей формулой:

\[\lambda = \frac{1}{n} \ln\left(\frac{{A_1}}{{A_2}}\right)\]

где \(n\) - количество колебаний, за которые амплитуда затухает с \(A_1\) до \(A_2\). В данной задаче, так как у нас даны амплитуды трех последовательных колебаний, количество колебаний \(n = 2\).

Подставляя значения, получаем:

\[\lambda = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{{8,6}}{{-4,1}}\right) = \frac{1}{2} \ln(-2,0976)\]

Так как логарифм отрицательного числа не определен в области действительных чисел, мы не можем вычислить точное значение логарифмического декремента в этой задаче.