Каково соотношение площадей между треугольниками skpn и spmn, если в треугольнике kpn высота pm делит основание

Для решения этой задачи нам потребуется использовать основное свойство треугольников и их площадей. При говоримых символах возьму и сохраним данный порядок "спкн" и "спмн".

Дано, что высота \(pm\) в треугольнике \(kpn\) делит основание \(kn\) так, что отношение \(km\) к \(mn\) равно 8. Обозначим длину отрезка \(km\) как \(x\). Тогда длина отрезка \(mn\) будет равна \(\frac{x}{8}\), так как отношение \(km\) к \(mn\) равно 8.

Общая формула для площади треугольника можно записать как:
\[Площадь = \frac{1}{2} \times основание \times высота\]

Теперь давайте проанализируем треугольник \(skpn\). У этого треугольника высота \(pm\) является общей стороной с треугольником \(spmn\), раскрывая общую высоту. Таким образом, мы можем выразить площадь треугольника \(skpn\) по формуле:
\[Площадь_{skpn} = \frac{1}{2} \times sk \times pm\]

Теперь рассмотрим треугольник \(spmn\). У этого треугольника основание \(sm\) равно сумме отрезков \(sk\) и \(km\), а высота \(pm\) является общей высотой с треугольником \(skpn\). Таким образом, площадь треугольника \(spmn\) можно выразить по формуле:
\[Площадь_{spmn} = \frac{1}{2} \times sm \times pm\]

Мы можем заметить, что основание \(sm\) равно \(sk + km\) или, с учетом обозначенного ранее значения \(x\), \(sk + x\).

Теперь давайте подставим значения площадей и оснований в формулы и упростим их.

\[Площадь_{skpn} = \frac{1}{2} \times sk \times pm\]
\[Площадь_{spmn} = \frac{1}{2} \times (sk + x) \times pm\]

Мы также можем заметить, что обе площади имеют общий множитель \(\frac{1}{2} \times pm\). Можем сократить этот множитель и записать отношение площадей треугольников:

\[\frac{Площадь_{skpn}}{Площадь_{spmn}} = \frac{\frac{1}{2} \times sk \times pm}{\frac{1}{2} \times (sk + x) \times pm}\]

Здесь множители \(\frac{1}{2} \times pm\) сократятся, и мы получим:

\[\frac{Площадь_{skpn}}{Площадь_{spmn}} = \frac{sk}{sk + x}\]

Теперь подставим значение \(x\), полученное из условия задачи: отношение \(km\) к \(mn\) равно 8. То есть \(x = 8 \times \frac{x}{8}\).

\[x = 8 \times \frac{x}{8}\]
\[x = x\]

Мы видим, что \(x\) равняется самому себе. Это означает, что отношение площадей треугольников \(skpn\) и \(spmn\) не зависит от значения \(x\).

Таким образом, соотношение площадей между треугольниками \(skpn\) и \(spmn\) будет всегда равно:
\[\frac{sk}{sk + x}\]

То есть:
\[\frac{площадь_{skpn}}{площадь_{spmn}} = \frac{sk}{sk + x}\]