Каково соотношение квадрата наиболее вероятной скорости молекулы водорода к квадрату наиболее вероятной скорости

Так как в задаче изначально присутствуют слова "наиболее вероятная скорость", то мы можем использовать распределение Максвелла для определения соотношения квадратов наиболее вероятных скоростей молекул.

Распределение Максвелла указывает на то, что скорости молекул в газе распределены по функции, которая зависит от их массы и температуры. Функция распределения имеет вид:

\[ f(v) = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \]

Где:
\( f(v) \) - вероятность того, что скорость молекулы будет равна \( v \)
\( m \) - масса молекулы газа
\( k \) - постоянная Больцмана (приближенно равна \( 1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж}/\text{К} \))
\( T \) - температура газа в кельвинах
\( \pi \) - число пи (приближенное значение \( 3.14 \))

Мы можем использовать это распределение для определения наиболее вероятной скорости молекулы, которая происходит тогда, когда производная \( f(v) \) по \( v \) равна нулю:

\[ \frac{df}{dv} = 0 \]

Производная от \( f(v) \) будет равна:

\[ \frac{df}{dv} = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}\left(2v - \frac{mv^3}{kT}\right)e^{-\frac{mv^2}{2kT}} \]

Устанавливаем производную равной нулю и решаем полученное уравнение:

\[ 2v - \frac{mv^3}{kT} = 0 \]

\[ v(2 - \frac{mv^2}{kT}) = 0 \]

\[ v = 0 \] or \[ v = \sqrt{\frac{2kT}{m}} \]

Итак, наиболее вероятная скорость молекулы равна

\[ v = \sqrt{\frac{2kT}{m}} \]

Теперь мы можем рассмотреть соотношение квадратов наиболее вероятных скоростей для молекул водорода и неона.

Пусть \( v_H \) будет наиболее вероятной скоростью молекулы водорода, а \( v_N \) - в случае неона.

Тогда соотношение квадратов наиболее вероятных скоростей можно записать как:

\[ \frac{{v_H}^2}{{v_N}^2} = \frac{\left(\sqrt{\frac{2kT}{m_H}}\right)^2}{\left(\sqrt{\frac{2kT}{m_N}}\right)^2} \]

Где \( m_H \) и \( m_N \) - массы молекул водорода и неона соответственно.

Заменяя значения \( m_H \) и \( m_N \), которые можно найти в таблице молекулярных масс, и учитывая, что температура газа не меняется, мы можем упростить это выражение:

\[ \frac{{v_H}^2}{{v_N}^2} = \frac{m_N}{m_H} \]

Таким образом, соотношение квадратов наиболее вероятных скоростей молекул водорода и неона равно отношению их масс:

\[ \frac{{v_H}^2}{{v_N}^2} = \frac{m_N}{m_H} \]

Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам понять соотношение квадратов наиболее вероятных скоростей молекул водорода и неона в случае смеси этих газов в сосуде.