Каково решение дифференциального уравнения y - xy = 2(1 + x^2y ) с начальным условием y(1

Для решения данного дифференциального уравнения сначала нам потребуется найти общее решение такого уравнения, а затем применить начальное условие для определения конкретного решения.

1. Найдем общее решение уравнения:
Для начала, запишем данное дифференциальное уравнение в стандартной форме, поместив все производные на одну сторону уравнения:
y - xy" - 2(1 + x^2y") = 0

Далее, объединим производные и сгруппируем слагаемые:
y - 2 - (xy" + 2x^2y") = 0

Теперь вынесем общий множитель y" из скобок:
y - 2 - (1 + x^2)y" = 0

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:
y - 2 - (1 + x^2)y" = 0

2. Теперь применим начальное условие y(1) = 3.

Для этого подставим x = 1 и y = 3 в общее решение уравнения:
y - 2 - (1 + x^2)y" = 0
3 - 2 - (1 + 1^2)y" = 0
1 - 2 - (1 + 1)y" = 0
-1 - 2y" = 0

Получаем систему из одного уравнения:
-2y" = 1

Для решения данного уравнения, разделим обе части на -2:
y" = -1/2

Теперь мы имеем второе дифференциальное уравнение, которое можно решить:
y" = -1/2

Проинтегрируем это уравнение два раза, чтобы найти y:
∫ y" dx = ∫ -1/2 dx

Интегрируя два раза, получим:
y" = -1/2x + C1
y = -1/4x^2 + C1x + C2

Подставляем начальное условие y(1) = 3:
3 = -1/4(1)^2 + C1(1) + C2
3 = -1/4 + C1 + C2

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:
C1 + C2 = 3 + 1/4
C1 + C2 = 13/4

Мы не можем определить значения C1 и C2 только на основе этой системы. Вероятно, вам потребуется дополнительное начальное условие, чтобы однозначно определить конкретное решение данного уравнения.

Резюмируя, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:
y = -1/4x^2 + C1x + C2, где C1 и C2 - произвольные константы.

Начальное условие y(1) = 3 позволяет нам определить значению константы C1 + C2, но дополнительное начальное условие понадобится для однозначного определения констант C1 и C2.