Каково разложение вектора XY по векторам ХҮ, FB и FA, если точка X делит сторону BF в отношении BX : XF = 4

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые понятия из векторного анализа. Для начала, разложим векторы ХҮ, FB и FA на составляющие, параллельные сторонам четырехугольника XFBҮ:

\(\overrightarrow{ХҮ} = \overrightarrow{ХB} + \overrightarrow{BҮ}\)

\(\overrightarrow{FB} = \overrightarrow{XF} + \overrightarrow{FB}\)

\(\overrightarrow{FA} = \overrightarrow{FҮ} + \overrightarrow{YA}\)

Теперь мы можем выразить вектор XY через эти разложения:

\(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{XA} + \overrightarrow{AY}\)

Чтобы найти разложение вектора XY по векторам ХҮ, FB и FA, нам нужно выразить вектора XA и AY через данные отношения.

Согласно заданию, точка X делит сторону BF в отношении BX : XF = 4 : 3. Поделим вектор FB на эти две части:

\(\overrightarrow{XF} = \frac{3}{4} \overrightarrow{FB}\)
\(\overrightarrow{XB} = \overrightarrow{FB} - \overrightarrow{XF} = \overrightarrow{FB} - \frac{3}{4} \overrightarrow{FB} = \frac{1}{4} \overrightarrow{FB}\)

Аналогично, точка Y делит сторону FA в отношении Fү : YA. Поделим вектор FA на эти две части:

\(\overrightarrow{FҮ} = \frac{1}{2} \overrightarrow{FA}\)
\(\overrightarrow{YA} = \overrightarrow{FA} - \overrightarrow{FҮ} = \overrightarrow{FA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{FA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{FA}\)

Теперь можно заменить соответствующие вектора в выражении для XY:

\(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{XA} + \overrightarrow{AY} = (\overrightarrow{XB} + \overrightarrow{FB}) + (\overrightarrow{FA} - \overrightarrow{FҮ})\)

Заменим найденные ранее значения:

\(\overrightarrow{XY} = \left(\frac{1}{4} \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FB}\right) + \left(\overrightarrow{FA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{FA}\right)\)

Приблизительно упростим выражение:

\(\overrightarrow{XY} = \frac{5}{4} \overrightarrow{FB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{FA}\)

Таким образом, разложение вектора XY по векторам ХҮ, FB и FA будет иметь вид:

\(\overrightarrow{XY} = \frac{5}{4} \overrightarrow{FB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{FA}\)

Надеюсь, эта информация окажется понятной и полезной для вас!