Каково расстояние от вершины С до плоскости D1AB в кубе ABCDA1B1C1D1, если длина ребра равна 8 корням

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы ответ был понятен.

Дано: у нас есть куб ABCDA1B1C1D1, длина ребра которого равна \(8\sqrt{2}\). Нам нужно найти расстояние от вершины С до плоскости D1AB.

Шаг 1: Найдем координаты точек C и D1. Поскольку это куб, все его стороны параллельны осям координат. Это позволяет нам легко найти координаты точек.
Координаты точки C: \((0, 8\sqrt{2}, 8\sqrt{2})\)
Координаты точки D1: \((8\sqrt{2}, 8\sqrt{2}, 0)\)

Шаг 2: Найдем уравнение плоскости D1AB. Для этого нам понадобится найти уравнение плоскости, проходящей через точки D1, A и B.
Возьмем два вектора \(\vec{D1A}\) и \(\vec{D1B}\). Так как плоскость будет проходить через точки D1, A и B, векторы \(\vec{D1A}\) и \(\vec{D1B}\) будут лежать в этой плоскости.
\(\vec{D1A} = (8\sqrt{2} - 0, 8\sqrt{2} - 0, 0 - 8\sqrt{2}) = (8\sqrt{2}, 8\sqrt{2}, -8\sqrt{2})\)
\(\vec{D1B} = (0 - 8\sqrt{2}, 8\sqrt{2} - 8\sqrt{2}, 0 - 8\sqrt{2}) = (-8\sqrt{2}, 0, -8\sqrt{2})\)

Теперь найдем векторное произведение \(\vec{D1A} \times \vec{D1B}\) этих двух векторов, чтобы найти нормальный вектор плоскости D1AB:
\(\vec{N} = \vec{D1A} \times \vec{D1B} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 8\sqrt{2} & 8\sqrt{2} & -8\sqrt{2} \\ -8\sqrt{2} & 0 & -8\sqrt{2} \end{vmatrix} = (-64, -64\sqrt{2}, -64)\)

Теперь, имея нормальный вектор \(\vec{N}\) и одну из точек, например D1, мы можем записать уравнение плоскости D1AB:
\(-64(x - 8\sqrt{2}) - 64\sqrt{2}(y - 8\sqrt{2}) - 64(z - 0) = 0\)
\(-64x + 512 - 64\sqrt{2}y + 512 - 64z = 0\)
\(-64x - 64\sqrt{2}y - 64z + 1024 = 0\)

Шаг 3: Найдем расстояние между плоскостью D1AB и точкой C. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между точкой и плоскостью.
Формула расстояния от точки до плоскости: \(D = \frac{{\left| Ax + By + Cz + D \right|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\), где ABCD - коэффициенты уравнения плоскости, а (x, y, z) - координаты точки.

Используя данную формулу, мы можем найти расстояние D от точки C до плоскости D1AB.
\(A = -64\), \(B = -64\sqrt{2}\), \(C = -64\) (коэффициенты уравнения плоскости) и \(D = 1024\) (свободный член уравнения плоскости).
Подставляем координаты точки C в формулу расстояния:
\(D = \frac{{\left| -64(0) - 64\sqrt{2}(8\sqrt{2}) - 64(8\sqrt{2}) + 1024 \right|}}{{\sqrt{{(-64)^2 + (-64\sqrt{2})^2 + (-64)^2}}}}\)
\(D = \frac{{\left| -1024 \right|}}{{\sqrt{{4096 + 8192 + 4096}}}}\)
\(D = \frac{{1024}}{{\sqrt{{16384}}}}\)
\(D = \frac{{1024}}{{128}}\)
\(D = 8\)

Ответ: Расстояние от вершины C до плоскости D1AB в кубе ABCDA1B1C1D1 равно 8.