Каково расстояние от точки К до плоскости, если PABC - правильный тетраэдр, с ребром AB = 4 и точка К является

Для решения этой задачи нам потребуется использовать теорему о перпендикуляре.

Итак, мы знаем, что точка К является серединой ребра AB. Для простоты будем считать, что координаты точки А равны (0, 0, 0), а координаты точки B равны (4, 0, 0). Также, пусть координаты точки С будут (2, 2√2, 0).

Чтобы найти расстояние от точки К до плоскости PABC, нужно найти расстояние от точки К до плоскости ABC. Для этого нам нужно найти вектор нормали к плоскости ABC. Поскольку ABC - правильный тетраэдр, все его грани являются равносторонними треугольниками, а значит, его плоскость ABC также обладает симметрией.

Так как точка К является серединой ребра AB, вектор от точки А до точки К будет половиной вектора AB. То есть, вектор CK можно найти как половину вектора CB:

\[\vec{CK} = \frac{1}{2} \vec{CB} = \frac{1}{2} (2 - 4, 2\sqrt{2} - 0, 0 - 0) = (-1, \sqrt{2}, 0).\]

Теперь мы можем найти вектор нормали к плоскости ABC, используя векторы AB и AC. Для этого мы можем использовать их скалярное произведение. Обозначим вектор нормали как \(\vec{N}\):

\[\vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC}.\]

Подставляя значения векторов, получаем:

\[\vec{N} = (4 - 0, 0 - 0, 0 - 0) \times (2 - 0, 2\sqrt{2} - 0, 0 - 0) = (4, 0, 0) \times (2, 2\sqrt{2}, 0).\]

Теперь найдем скалярное произведение векторов (4, 0, 0) и (2, 2\sqrt{2}, 0). Для этого мы будем использовать формулу скалярного произведения:

\[\vec{A} \cdot \vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.\]

Подставляя значения векторов, получаем:

\[\vec{N} = (4, 0, 0) \cdot (2, 2\sqrt{2}, 0) = 4 \cdot 2 + 0 \cdot 2\sqrt{2} + 0 \cdot 0 = 8.\]

Теперь мы можем найти расстояние от точки К до плоскости ABC, используя формулу:

\[d = \frac{{|\vec{N} \cdot \vec{CK}|}}{{|\vec{N}|}}.\]

Подставляя значения, получаем:

\[d = \frac{{|8 \cdot (-1) + 0 \cdot \sqrt{2} + 0 \cdot 0|}}{{|(4, 0, 0)|}} = \frac{{|-8|}}{{|4|}} = 2.\]

Таким образом, расстояние от точки К до плоскости PABC равно 2.