Каково расстояние от точки B до плоскости DA1C1 в данном единичном кубе ABCDA1B1C1D1?

Чтобы найти расстояние от точки B до плоскости DA1C1 в данном единичном кубе ABCDA1B1C1D1, мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости.

Для начала, давайте определим уравнение плоскости DA1C1. Заметим, что данная плоскость проходит через точки D, A1 и C1.

Векторное уравнение плоскости DA1C1 можно записать следующим образом:

\[
\overrightarrow{DA1} \cdot \overrightarrow{DA1C1} = 0
\]

где \(\overrightarrow{DA1}\) - вектор, соединяющий точки D и A1, и \(\overrightarrow{DA1C1}\) - вектор, лежащий в плоскости DA1C1.

Теперь, найдем вектор \(\overrightarrow{DA1}\).

\(\overrightarrow{DA1} = \overrightarrow{A1} - \overrightarrow{D}\)

Поскольку каждая вершина данного единичного куба имеет координаты (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), и (0, 1, 1), соответственно, мы можем записать:

\(\overrightarrow{DA1} = (1, 0, 1) - (0, 1, 0) = (1, -1, 1)\)

Теперь, вычислим вектор \(\overrightarrow{DA1C1}\).

\(\overrightarrow{DA1C1} = \overrightarrow{C1} - \overrightarrow{D}\)

Используя координаты вершин C1 и D, получаем:

\(\overrightarrow{DA1C1} = (1, 1, 1) - (0, 1, 0) = (1, 0, 1)\)

Теперь, выполним скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{DA1}\) и \(\overrightarrow{DA1C1}\):

\(\overrightarrow{DA1} \cdot \overrightarrow{DA1C1} = (1, -1, 1) \cdot (1, 0, 1) = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 + 0 + 1 = 2\)

Подставим значение полученного скалярного произведения в векторное уравнение плоскости DA1C1:

\(2 = 0\)

Такое уравнение не имеет смысла, так как оно неверно. Это означает, что точка B не принадлежит плоскости DA1C1.

Следовательно, расстояние от точки B до плоскости DA1C1 равно расстоянию от точки B до ближайшей точки на плоскости DA1C1.

Мы можем найти ближайшую точку на плоскости DA1C1, проецируя точку B на эту плоскость.

Обозначим ближайшую точку к B на плоскости DA1C1 как P. Расстояние между точкой B и P будет искомым расстоянием.

Для нахождения точки P нам нужно провести перпендикуляр от точки B к плоскости DA1C1. Это можно сделать, используя векторное уравнение плоскости DA1C1 и координаты точки B.

Таким образом, для нахождения точки P мы можем использовать следующую формулу:

\[
P = B - (\overrightarrow{DA1C1} \cdot \overrightarrow{DA1C1}) \cdot \overrightarrow{DA1C1}
\]

Подставим значения координат точки B и вектора \(\overrightarrow{DA1C1}\):

\[
P = (0, 0, 1) - (1, 0, 1) \cdot (1, 0, 1) = (0, 0, 1) - (1, 0, 1) = (-1, 0, 0)
\]

Теперь, мы можем найти расстояние между точкой B и P, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[
\text{Расстояние} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
\]

Подставим значения координат точек B и P:

\[
\text{Расстояние} = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}
\]

Итак, расстояние от точки B до плоскости DA1C1 в данном единичном кубе ABCDA1B1C1D1 составляет \(\sqrt{3}\) единицы.