Какой координатный вектор образует наибольший угол с вектором c(-корень3;0;1

Чтобы найти координатный вектор, который образует наибольший угол с вектором \(\mathbf{c} = (-\sqrt{3}, 0, 1)\), мы должны рассмотреть угол между векторами и использовать косинусную теорему.

Вектор \(\mathbf{c}\) имеет координаты \((- \sqrt{3}, 0, 1)\).

Векторы в трехмерном пространстве представляются в виде координатных векторов с компонентами для каждого измерения. Таким образом, вектор может быть записан ​​как \(\mathbf{v} = (x, y, z)\), где \(x\), \(y\), \(z\) - это его координаты.

Мы ищем координатный вектор, так что его длина будет равна 1. Давайте его обозначим как \(\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)\), где \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\) - это его координаты.

Угол между векторами \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{u}\) можно найти с помощью косинуса угла между ними:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{c} \cdot \mathbf{u}}}{{\|\mathbf{c}\| \|\mathbf{u}\|}}
\]

где \(\mathbf{c} \cdot \mathbf{u}\) представляет скалярное произведение векторов \(\mathbf{c}\) и \(\mathbf{u}\), а \(\|\mathbf{c}\|\) и \(\|\mathbf{u}\|\) - их длины.

Теперь давайте рассмотрим шаги по нахождению координатного вектора \(\mathbf{u}\) с наибольшим углом по отношению к вектору \(\mathbf{c}\):

1. Найдите длину вектора \(\mathbf{c}\):
\[
\|\mathbf{c}\| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 0^2 + 1^2}
\]
\[
\|\mathbf{c}\| = \sqrt{3 + 1}
\]
\[
\|\mathbf{c}\| = 2
\]

2. Рассмотрим координаты вектора \(\mathbf{u}\) в общем виде:
\[
\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)
\]

3. Найдите скалярное произведение \(\mathbf{c} \cdot \mathbf{u}\):
\[
\mathbf{c} \cdot \mathbf{u} = (-\sqrt{3} \cdot u_1) + (0 \cdot u_2) + (1 \cdot u_3)
\]
\[
\mathbf{c} \cdot \mathbf{u} = -\sqrt{3}u_1 + u_3
\]

4. Рассмотрим длину вектора \(\mathbf{u}\) и ее условие:
\[
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} = 1
\]

5. Используя косинусную теорему, найдите косинус угла \(\theta\):
\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{c} \cdot \mathbf{u}}}{{\|\mathbf{c}\| \|\mathbf{u}\|}}
\]
\[
\cos(\theta) = \frac{{-\sqrt{3}u_1 + u_3}}{{2 \cdot 1}}
\]
\[
\cos(\theta) = \frac{{-\sqrt{3}u_1 + u_3}}{2}
\]

6. Чтобы найти максимальное значение косинуса угла, мы ищем минимальное значение его абсолютной величины. Пусть \(|\cos(\theta)|\) будет минимальным значением, тогда \(-\sqrt{3}u_1 + u_3\) будет равно \(-2\) или \(2\):
\[
-\sqrt{3}u_1 + u_3 = -2 \quad \text{или} \quad -\sqrt{3}u_1 + u_3 = 2
\]

7. Рассмотрим случай, когда \(-\sqrt{3}u_1 + u_3 = -2\):
\[
u_3 = -2 + \sqrt{3}u_1
\]

8. Рассмотрим случай, когда \(-\sqrt{3}u_1 + u_3 = 2\):
\[
u_3 = 2 + \sqrt{3}u_1
\]

Таким образом, координатный вектор \(\mathbf{u}\), который образует наибольший угол с вектором \(\mathbf{c}\), может быть представлен как \(\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)\), где \(u_3 = -2 + \sqrt{3}u_1\) или \(u_3 = 2 + \sqrt{3}u_1\).

Мы можем выбрать различные значения \(u_1\) и найти соответствующие координаты \(u_2\) и \(u_3\) для того, чтобы получить разные координатные векторы, которые образуют наибольший угол с вектором \(\mathbf{c}\).