Каково расстояние от объекта до линзы, если оптическая сила линзы равна + 10 дптр, а высота изображения в 4 раза больше

Данная задача связана с оптикой и рассматривает расстояние от объекта до линзы. Оптическая сила линзы измеряется в диоптриях (дптр) и определяет ее способность фокусировать свет. Для решения задачи нам дано, что оптическая сила линзы равна +10 дптр, а высота изображения в 4 раза больше высоты предмета.

Для начала, давайте вспомним формулу, которая связывает оптическую силу линзы с расстоянием от объекта до линзы:

\[\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)\]

Где f - фокусное расстояние линзы, n - показатель преломления среды (для воздуха принимается примерно равным 1), R1 и R2 - радиусы кривизны линзы (положительные значения для сферических поверхностей, направленных внутрь линзы).

Так как в задаче дана оптическая сила линзы, нам нужно определить фокусное расстояние линзы. Формула, связывающая оптическую силу с фокусным расстоянием, выглядит следующим образом:

\[f = \frac{1}{D}\]

Где D - оптическая сила линзы в диоптриях.

Таким образом, мы можем определить фокусное расстояние нашей линзы:

\[f = \frac{1}{10} = 0.1\,м\]

Теперь, будем использовать формулу для линзы, чтобы определить расстояние от объекта до линзы. Формула связывает расстояние объекта (p), расстояние изображения (q) и фокусное расстояние (f):

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\]

Так как в задаче у нас нет информации о расстоянии изображения, но есть информация о высоте изображения, мы можем использовать формулу связи между высотами предмета и изображения для линзы:

\[\frac{h"}{h} = - \frac{q}{p}\]

Где h" - высота изображения, h - высота предмета, p - расстояние объекта и q - расстояние изображения.

Согласно условию задачи, высота изображения в 4 раза больше высоты предмета:

\[\frac{h"}{h} = 4\]

Теперь мы можем связать формулы, чтобы решить задачу. Подставим \(\frac{h"}{h} = 4\) в формулу \(\frac{h"}{h} = - \frac{q}{p}\), чтобы получить:

\[-4 = - \frac{q}{p}\]

Так как оптическая сила положительная (+10 дптр), это означает, что линза является собирающей, и расстояние от линзы до изображения будет положительным.

Теперь, подставим известные значения в формулу \(\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\):

\[\frac{1}{0.1} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\]

Решая эту формулу, мы можем найти расстояние от объекта до линзы. В итоге, получаем:

\[\frac{1}{0.1} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\]

\[10 = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\]

Мы можем упростить эту формулу до:

\[10 = \frac{p + q}{pq}\]

Теперь, используем соотношение \(-4 = - \frac{q}{p}\) для замены q в формуле:

\[10 = \frac{p - 4p}{-4p^2}\]

Упростим выражение:

\[10 = \frac{-3p}{4p^2}\]

Переместим 4p^2 на другую сторону:

\[10 \cdot 4p^2 = -3p\]

\[40p^2 = -3p\]

\[40p^2 + 3p = 0\]

Теперь, найдем значения p с помощью квадратного уравнения. Для этого, заметим, что p = 0 - одно из возможных решений, так как в описанной задаче не указано направление лучей света относительно линзы.

Решая наше квадратное уравнение, мы получаем:

\[p = 0, p = \frac{-3}{40}\]

Так как p не может быть равным нулю в нашем случае (это будет означать, что объект находится непосредственно на линзе), мы можем выбрать p = \(\frac{-3}{40}\) в качестве нашего окончательного ответа.

Таким образом, расстояние от объекта до линзы составляет \(\frac{-3}{40}\) метра.