Каково промежуточное время, ∆t, до следующего столкновения шарика с плитой, если он падает с высоты h и отскакивает

Давайте решим эту задачу пошагово, чтобы обеспечить полное понимание.

Шарик падает с высоты \(h\) и отскакивает от плиты. Утверждается, что при каждом отскоке шарик теряет 20% своей полной энергии. Мы хотим найти промежуточное время, \(∆t\), до следующего столкновения шарика с плитой.

1. Определим основные физические принципы в этой задаче. Для падения шарика используем законы сохранения энергии. Полная механическая энергия шарика в начальный момент времени, когда он падает с высоты \(h\), равна его потенциальной энергии \(mgh\), где \(m\) - масса шарика, \(g\) - ускорение свободного падения, и \(h\) - высота.

2. Из энергетического равенства:
\[mgh = \frac{4}{5}mgh"\]
где \(h"\) - новая высота после столкновения, получаем выражение для \(h"\):
\[h" = \frac{4}{5}h\]

3. Помимо этого, мы должны учесть время, затраченное шариком на достижение высоты \(h"\). Так как шарик падает сначала, а затем поднимается после столкновения, общий путь падения и подъема равен \(2h"\).

Затратим \(∆t_1\) на падение с высоты \(h\) до высоты \(h"\):
\[h" = \frac{1}{2}gt_1^2\]
где \(t_1\) - время падения до высоты \(h"\).

Затратим \(∆t_2\) на подъем шарика с высоты \(h"\) до высоты \(h\). Так как теряется 20% энергии, мы можем воспользоваться тем же временем \(t_1\), но умножим его на коэффициент 1.2, чтобы учесть, что шарик поднимается медленнее, теряя часть своей энергии:
\(h = \frac{1}{2}g(1.2t_1)^2\)

4. Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(t_1\) и \(h"\)). Решим эту систему уравнений:

Сначала решим второе уравнение относительно \(t_1\):
\[\frac{1}{2}g(1.2t_1)^2 = h\]
Раскроем скобки и решим уравнение:
\[1.44g^2t_1^2 = 2h\]
\[t_1^2 = \frac{2h}{1.44g^2}\]
\[t_1 = \sqrt{\frac{2h}{1.44g^2}}\]

Теперь подставим \(t_1\) в первое уравнение для нахождения \(h"\):
\[h" = \frac{1}{2}gt_1^2\]
\[h" = \frac{1}{2}g\left(\sqrt{\frac{2h}{1.44g^2}}\right)^2\]
\[h" = \frac{1}{2}g\frac{2h}{1.44g^2}\]
\[h" = \frac{h}{1.44g}\]

5. Теперь мы знаем, что после каждого столкновения шарик поднимается до высоты \(h"\) и падает обратно до высоты \(h"\). Суммарное время, затраченное на это падение и подъем, составляет \(2∆t_1\):
\[2∆t_1 = 2\sqrt{\frac{2h}{1.44g^2}}\]
\[∆t_1 = \sqrt{\frac{2h}{1.44g^2}}\]

Таким образом, промежуточное время, \(∆t\), до следующего столкновения шарика с плитой равно \(∆t_1\).

Надеюсь, это решение было для вас понятным и помогло вам.