Каково представление вектора С в терминах единичных векторов

Конечная задача состоит в представлении вектора \(\mathbf{C}\) в терминах единичных векторов. Представление вектора \(\mathbf{C}\) в терминах единичных векторов означает разложение \(\mathbf{C}\) на сумму его компонентов, которые направлены вдоль определенных направлений. Давайте рассмотрим этот процесс пошагово.

1. Введение:
Вектор - это математический объект, определяющийся направлением, длиной и точкой приложения. Вектор может быть представлен в виде упорядоченной пары чисел или вектора с началом и концом в пространстве. Единичные векторы - это векторы определенной длины, направленные вдоль осей координат.

2. Разложение вектора:
Чтобы представить вектор \(\mathbf{C}\) в терминах единичных векторов, разложим его на сумму проекций \(\mathbf{C}_x\), \(\mathbf{C}_y\) и \(\mathbf{C}_z\) вдоль осей координат \(x\), \(y\) и \(z\) соответственно. Вектор \(\mathbf{C}\) может быть записан как:
\[\mathbf{C} = \mathbf{C}_x\mathbf{i} + \mathbf{C}_y\mathbf{j} + \mathbf{C}_z\mathbf{k}\]
где \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{k}\) - это единичные векторы, направленные вдоль осей \(x\), \(y\) и \(z\) соответственно.

3. Определение компонентов:
Компоненты \(\mathbf{C}_x\), \(\mathbf{C}_y\) и \(\mathbf{C}_z\) могут быть определены, используя проекцию вектора \(\mathbf{C}\) на оси координат.
- Компонента \(\mathbf{C}_x\) равна проекции вектора \(\mathbf{C}\) на ось \(x\).
- Компонента \(\mathbf{C}_y\) равна проекции вектора \(\mathbf{C}\) на ось \(y\).
- Компонента \(\mathbf{C}_z\) равна проекции вектора \(\mathbf{C}\) на ось \(z\).

4. Нахождение компонентов:
Компоненты могут быть вычислены с помощью скалярного произведения вектора \(\mathbf{C}\) и единичных векторов:
\(\mathbf{C}_x = \mathbf{C} \cdot \mathbf{i}\)
\(\mathbf{C}_y = \mathbf{C} \cdot \mathbf{j}\)
\(\mathbf{C}_z = \mathbf{C} \cdot \mathbf{k}\)

5. Пример:
Рассмотрим пример для наглядности. Представим, что у нас есть вектор \(\mathbf{C}\) с координатами \((3, 4, 5)\). Единичные векторы имеют следующие значения: \(\mathbf{i} = (1, 0, 0)\), \(\mathbf{j} = (0, 1, 0)\) и \(\mathbf{k} = (0, 0, 1)\). Для нахождения компонентов \(\mathbf{C}_x\), \(\mathbf{C}_y\) и \(\mathbf{C}_z\) мы используем скалярное произведение:
\(\mathbf{C}_x = (3, 4, 5) \cdot (1, 0, 0) = 3\)
\(\mathbf{C}_y = (3, 4, 5) \cdot (0, 1, 0) = 4\)
\(\mathbf{C}_z = (3, 4, 5) \cdot (0, 0, 1) = 5\)

Таким образом, представление вектора \(\mathbf{C}\) в терминах единичных векторов будет:
\(\mathbf{C} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 5\mathbf{k}\)

Таким образом, представление вектора \(\mathbf{C}\) в терминах единичных векторов - это его разложение на сумму компонентов, направленных вдоль осей координат. Каждая компонента определяется как проекция вектора на соответствующую ось.