Каково представление вектора С в терминах единичных векторов

Конечная задача состоит в представлении вектора $\mathbf{C}$ в терминах единичных векторов. Представление вектора $\mathbf{C}$ в терминах единичных векторов означает разложение $\mathbf{C}$ на сумму его компонентов, которые направлены вдоль определенных направлений. Давайте рассмотрим этот процесс пошагово.

1. Введение:
Вектор - это математический объект, определяющийся направлением, длиной и точкой приложения. Вектор может быть представлен в виде упорядоченной пары чисел или вектора с началом и концом в пространстве. Единичные векторы - это векторы определенной длины, направленные вдоль осей координат.

2. Разложение вектора:
Чтобы представить вектор $\mathbf{C}$ в терминах единичных векторов, разложим его на сумму проекций ${\mathbf{C}}_x$, ${\mathbf{C}}_y$ и ${\mathbf{C}}_z$ вдоль осей координат $x$, $y$ и $z$ соответственно. Вектор $\mathbf{C}$ может быть записан как:
$$\mathbf{C}={\mathbf{C}}_x\mathbf{i}+{\mathbf{C}}_y\mathbf{j}+{\mathbf{C}}_z\mathbf{k}$$
где $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ и $\mathbf{k}$ - это единичные векторы, направленные вдоль осей $x$, $y$ и $z$ соответственно.

3. Определение компонентов:
Компоненты ${\mathbf{C}}_x$, ${\mathbf{C}}_y$ и ${\mathbf{C}}_z$ могут быть определены, используя проекцию вектора $\mathbf{C}$ на оси координат.
- Компонента ${\mathbf{C}}_x$ равна проекции вектора $\mathbf{C}$ на ось $x$.
- Компонента ${\mathbf{C}}_y$ равна проекции вектора $\mathbf{C}$ на ось $y$.
- Компонента ${\mathbf{C}}_z$ равна проекции вектора $\mathbf{C}$ на ось $z$.

4. Нахождение компонентов:
Компоненты могут быть вычислены с помощью скалярного произведения вектора $\mathbf{C}$ и единичных векторов:
${\mathbf{C}}_x=\mathbf{C}\cdot \mathbf{i}$
${\mathbf{C}}_y=\mathbf{C}\cdot \mathbf{j}$
${\mathbf{C}}_z=\mathbf{C}\cdot \mathbf{k}$

5. Пример:
Рассмотрим пример для наглядности. Представим, что у нас есть вектор $\mathbf{C}$ с координатами $(3,4,5)$. Единичные векторы имеют следующие значения: $\mathbf{i}=(1,0,0)$, $\mathbf{j}=(0,1,0)$ и $\mathbf{k}=(0,0,1)$. Для нахождения компонентов ${\mathbf{C}}_x$, ${\mathbf{C}}_y$ и ${\mathbf{C}}_z$ мы используем скалярное произведение:
${\mathbf{C}}_x=(3,4,5)\cdot (1,0,0)=3$
${\mathbf{C}}_y=(3,4,5)\cdot (0,1,0)=4$
${\mathbf{C}}_z=(3,4,5)\cdot (0,0,1)=5$

Таким образом, представление вектора $\mathbf{C}$ в терминах единичных векторов будет:
$\mathbf{C}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}+5\mathbf{k}$

Таким образом, представление вектора $\mathbf{C}$ в терминах единичных векторов - это его разложение на сумму компонентов, направленных вдоль осей координат. Каждая компонента определяется как проекция вектора на соответствующую ось.