Представьте уравнение плоскости и определите расстояние от точки С(7; 4; 2) до плоскости, если точки A (2 ;3 ;−1

Хорошо, давайте начнем с определения уравнения плоскости. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве может быть представлено в виде \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) - некоторые константы, а \(x\), \(y\) и \(z\) - переменные, представляющие координаты точек в трехмерном пространстве.

Для того чтобы найти уравнение плоскости, через которую проходят точки A и B, мы можем воспользоваться методом задания плоскости через точку и нормальный вектор. Нормальный вектор плоскости перпендикулярен векторам, проведенным от точки A к точке B и от точки A к точке C. Мы можем использовать это свойство для нахождения нормального вектора плоскости.

Вектор, проведенный от точки A к точке B, равен \(\vec{AB} = (7-2, 2-3, 1-(-1)) = (5, -1, 2)\).
Вектор, проведенный от точки A к точке C, равен \(\vec{AC} = (7-2, 4-3, 2-(-1)) = (5, 1, 3)\).

Теперь мы можем найти нормальный вектор плоскости, вычислив векторное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\).

\[
\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}
\]
\[
= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
5 & -1 & 2 \\
5 & 1 & 3 \\
\end{vmatrix}
\]
\[
= (1(2) - (-1)(3))\vec{i} - (5(2) - 5(3))\vec{j} + (5(1) - 5(5))\vec{k}
\]
\[
= 5\vec{i} + (-5)\vec{j} + (-20)\vec{k}
\]
\[
= (5, -5, -20)
\]

Таким образом, нормальный вектор плоскости равен \(\vec{n} = (5, -5, -20)\).

Теперь, чтобы найти уравнение плоскости, который проходит через точку A и имеет нормальный вектор \(\vec{n}\), мы можем подставить координаты точки A и вектор \(\vec{n}\) в уравнение плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\) и найти значение D.

Подставим координаты точки A (2, 3, -1) и нормальный вектор \(\vec{n}\) (5, -5, -20) в уравнение плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\):
\(2(5) + 3(-5) + (-1)(-20) + D = 0\),
\(10 - 15 + 20 + D = 0\),
\(D = -15\).

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки A и B, имеет вид:
\(5x - 5y - 20z - 15 = 0\).

Теперь, чтобы найти расстояние от точки C(7, 4, 2) до плоскости, мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости. Формула для расстояния от точки (x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 выглядит следующим образом:

\[
d = \frac{{\left\lvert Ax0 + By0 + Cz0 + D \right\rvert}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}
\]

Мы знаем координаты точки C (7, 4, 2), а также уравнение плоскости 5x - 5y - 20z - 15 = 0. Подставим эти значения в формулу и вычислим расстояние:

\[
d = \frac{{\left\lvert 5(7) - 5(4) - 20(2) - 15 \right\rvert}}{{\sqrt{{5^2 + (-5)^2 + (-20)^2}}}}
\]
\[
= \frac{{\left\lvert 35 - 20 - 40 - 15 \right\rvert}}{{\sqrt{{25 + 25 + 400}}}}
\]
\[
= \frac{{\left\lvert -40 \right\rvert}}{{\sqrt{{450}}}}
\]
\[
= \frac{{40}}{{\sqrt{{450}}}}
\]
\[
= \frac{{40}}{{15 \sqrt{{2}}}}
\]
\[
= \frac{{8}}{{3 \sqrt{{2}}}}.
\]

Таким образом, расстояние от точки C(7, 4, 2) до плоскости 5x - 5y - 20z - 15 = 0 равно \(\frac{{8}}{{3 \sqrt{{2}}}}\).