Каково отношение высоты цилиндра к диаметру его основания, если площадь боковой поверхности цилиндра составляет

Чтобы решить эту задачу, давайте разобъем ее на несколько шагов.

Шаг 1: Понимание площади боковой поверхности цилиндра

Для начала нам нужно разобраться, как найти площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить с использованием формулы \(S_{\text{бок}} = 2\pi r h\), где \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - его высота. Обратите внимание, что мы используем радиус, а не диаметр в этой формуле.

Шаг 2: Площадь сферы

Нам также нужно понять, как найти площадь сферы. Площадь сферы можно вычислить с использованием формулы \(S_{\text{сф}} = 4\pi r^2\), где \(r\) - радиус сферы.

Шаг 3: Установление отношения

Теперь, когда у нас есть обе формулы, давайте установим отношение между площадью боковой поверхности цилиндра и площадью сферы.

Мы знаем, что площадь боковой поверхности цилиндра составляет 2/5 площади сферы, то есть \(S_{\text{бок}} = \dfrac{2}{5} S_{\text{сф}}\).

Шаг 4: Замена формул

Теперь мы можем заменить формулы для площади боковой поверхности цилиндра и площади сферы в полученном уравнении.

Подставим значения из шага 1 и шага 2 в уравнение:
\[2\pi r h = \dfrac{2}{5} \cdot 4\pi r^2\]

Шаг 5: Упрощение и решение уравнения

Для упрощения уравнения сократим общий множитель \(\pi\):
\[2rh = \dfrac{2}{5} \cdot 4r^2\]

Далее, упростим выражение \(\dfrac{2}{5} \cdot 4\) до \(\dfrac{8}{5}\):
\[2rh = \dfrac{8}{5}r^2\]

Разделим обе стороны уравнения на \(r\) (при условии \(r \neq 0\)):
\[2h = \dfrac{8}{5}r\]

Теперь делим обе стороны на 2, чтобы избавиться от коэффициента перед \(h\):
\[h = \dfrac{\dfrac{8}{5}r}{2}\]

Шаг 6: Отношение высоты к диаметру

Наконец, мы можем использовать полученное уравнение для нахождения отношения высоты цилиндра к диаметру его основания. Заменим радиус \(r\) в уравнении на диаметр \(d\) (при условии \(d = 2r\)):
\[h = \dfrac{\dfrac{8}{5} \cdot 2r}{2} = \dfrac{8}{5}r\]

Теперь мы видим, что отношение высоты \(h\) к диаметру \(d\) равно \(\dfrac{8}{5}\), или в десятичной дроби около 1.6.

Таким образом, отношение высоты цилиндра к диаметру его основания составляет приблизительно 1.6.