Каково отношение ускорений, приобретенных двумя шариками при столкновении на гладкой поверхности, если радиус первого

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.

Во-первых, давайте обозначим массу первого шарика как \(m_1\) и массу второго шарика как \(m_2\). Также, обозначим их радиусы как \(r_1\) и \(r_2\) соответственно. По условию задачи, радиус первого шарика в 3 раза больше радиуса второго шарика. Будет удобно использовать коэффициент пропорциональности, пусть он будет равен \(k = \frac{r_1}{r_2} = 3\).

Второй закон Ньютона гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение этого тела. В нашем случае, при столкновении шариков, они будут действовать друг на друга силами равными по модулю, но противоположными по направлению. Следовательно, имеем:
\[m_1 \cdot a_1 = m_2 \cdot a_2\]
где \(a_1\) - ускорение первого шарика, \(a_2\) - ускорение второго шарика.

Теперь давайте применим закон сохранения энергии. При столкновении энергия первого шарика передается на второй шарик. Рассмотрим кинетическую энергию шариков до и после столкновения. До столкновения, у первого шарика кинетическая энергия равна \(\frac{1}{2} m_1 v_1^2\), где \(v_1\) - скорость первого шарика перед столкновением, а у второго шарика кинетическая энергия равна \(\frac{1}{2} m_2 v_2^2\), где \(v_2\) - скорость второго шарика перед столкновением.

После столкновения, при отсутствии потерь энергии, кинетическая энергия передается на второй шарик. То есть, после столкновения, у второго шарика кинетическая энергия станет равной \(\frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2\), где \(v\) - скорость в результате столкновения.

По закону сохранения энергии имеем:
\[\frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2\]

Теперь мы можем связать ускорения и скорости, зная, что ускорение - это изменение скорости в единицу времени. То есть, ускорение первого шарика можно выразить как \(a_1 = \frac{dv_1}{dt}\), а ускорение второго шарика как \(a_2 = \frac{dv_2}{dt}\).

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться уравнениями, связывающими ускорение и скорость и взять производную от соответствующих уравнений. Для первого шарика (с радиусом \(r_1\)) и второго шарика (с радиусом \(r_2\)) у нас будут следующие соотношения:

\[v_1 = \frac{ds_1}{dt} = r_1 \frac{d\theta_1}{dt},\]
\[v_2 = \frac{ds_2}{dt} = r_2 \frac{d\theta_2}{dt},\]
где \(s_1\) и \(s_2\) - длины дуг, пройденные первым и вторым шариками соответственно, а \(\theta_1\) и \(\theta_2\) - углы, на которые повернулись первый и второй шарики соответственно.

Так как радиус первого шарика больше в \(k\) раз, можно записать соотношение для \(v_1\) в виде:
\[v_1 = k v_2.\]

Теперь мы можем связать \(v_1\), \(v_2\), \(a_1\) и \(a_2\):
\[a_1 = \frac{d}{dt} \left( r_1 \frac{d\theta_1}{dt} \right),\]
\[a_2 = \frac{d}{dt} \left( r_2 \frac{d\theta_2}{dt} \right).\]

Подставим выражения для \(v_1\) и \(v_2\) в уравнение закона сохранения энергии:
\[\frac{1}{2} m_1 \left( k v_2 \right)^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2.\]

Упростим это уравнение:
\[m_1 k^2 v_2^2 = (m_1 + m_2) v^2.\]

Теперь заменим \(v_1\) и \(v_2\) в уравнениях ускорений:
\[a_1 = \frac{d}{dt} \left( r_1 \frac{d\theta_1}{dt} \right),\]
\[a_2 = \frac{d}{dt} \left( r_2 \frac{d\theta_2}{dt} \right).\]

После подстановки и упрощения получим:
\[\frac{d^2 \theta_1}{dt^2} = \frac{a_1}{r_1 k^2},\]
\[\frac{d^2 \theta_2}{dt^2} = \frac{a_2}{r_2}.\]

Теперь заменим \(a_1\) и \(a_2\) в уравнении закона сохранения импульса:
\[m_1 \frac{a_1}{r_1 k^2} = m_2 \frac{a_2}{r_2}.\]

Упростим это уравнение:
\[a_1 = \frac{m_2 r_1}{m_1 r_2 k^2} a_2.\]

Теперь у нас есть выражение для ускорения первого шарика через ускорение второго шарика:
\[a_1 = \frac{m_2 r_1}{m_1 r_2 k^2} a_2.\]

Дано, что \(k = 3\), так как радиус первого шарика в 3 раза больше радиуса второго шарика. Подставляем это значение:
\[a_1 = \frac{m_2 r_1}{m_1 r_2 3^2} a_2.\]

Теперь нам нужно выразить массу второго шарика \(m_2\) через массу первого шарика \(m_1\) и коэффициент пропорциональности \(k\). Так как плотность шарика постоянна, масса шарика пропорциональна его объему, который определяется кубом его радиуса. Поэтому получаем:
\[\frac{m_2}{m_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3.\]

Подставляем значения:
\[\frac{m_2}{m_1} = \left( \frac{1}{3} \right)^3.\]

Упрощаем:
\[\frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{27}.\]

Теперь подставим это соотношение в выражение для \(a_1\):
\[a_1 = \frac{\frac{1}{27} r_1}{r_2 3^2} a_2.\]

Упростим:
\[a_1 = \frac{1}{243} \cdot \frac{r_1}{r_2} a_2.\]

Подставим значение \(k = 3\):
\[a_1 = \frac{1}{243} \cdot \frac{r_1}{r_2} a_2.\]

Теперь, единственное, что нам осталось сделать, это заменить \(r_1\) и \(r_2\) на \(k\) и \(r_2\), соответственно:
\[a_1 = \frac{1}{243} \cdot \frac{3 \cdot r_2}{r_2} a_2.\]

Упростим это уравнение:
\[a_1 = \frac{1}{81} a_2.\]

Таким образом, отношение ускорений первого и второго шарика равно \(\frac{1}{81}\). Ответ: \(\frac{1}{81}\).