Каково отношение ускорений, приобретенных двумя шариками при столкновении на гладкой поверхности, если радиус первого

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения импульса и энергии.

Во-первых, давайте обозначим массу первого шарика как $m_1$ и массу второго шарика как $m_2$. Также, обозначим их радиусы как $r_1$ и $r_2$ соответственно. По условию задачи, радиус первого шарика в 3 раза больше радиуса второго шарика. Будет удобно использовать коэффициент пропорциональности, пусть он будет равен $k=\frac{r_1}{r_2}=3$.

Второй закон Ньютона гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение этого тела. В нашем случае, при столкновении шариков, они будут действовать друг на друга силами равными по модулю, но противоположными по направлению. Следовательно, имеем:
$$m_1\cdot a_1=m_2\cdot a_2$$
где $a_1$ - ускорение первого шарика, $a_2$ - ускорение второго шарика.

Теперь давайте применим закон сохранения энергии. При столкновении энергия первого шарика передается на второй шарик. Рассмотрим кинетическую энергию шариков до и после столкновения. До столкновения, у первого шарика кинетическая энергия равна $\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2$, где $v_1$ - скорость первого шарика перед столкновением, а у второго шарика кинетическая энергия равна $\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2$, где $v_2$ - скорость второго шарика перед столкновением.

После столкновения, при отсутствии потерь энергии, кинетическая энергия передается на второй шарик. То есть, после столкновения, у второго шарика кинетическая энергия станет равной $\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2$, где $v$ - скорость в результате столкновения.

По закону сохранения энергии имеем:
$$\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2$$

Теперь мы можем связать ускорения и скорости, зная, что ускорение - это изменение скорости в единицу времени. То есть, ускорение первого шарика можно выразить как $a_1=\frac{d{v}_1}{dt}$, а ускорение второго шарика как $a_2=\frac{d{v}_2}{dt}$.

Чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться уравнениями, связывающими ускорение и скорость и взять производную от соответствующих уравнений. Для первого шарика (с радиусом $r_1$) и второго шарика (с радиусом $r_2$) у нас будут следующие соотношения:

$$v_1=\frac{d{s}_1}{dt}=r_1\frac{d{\theta }_1}{dt},$$
$$v_2=\frac{d{s}_2}{dt}=r_2\frac{d{\theta }_2}{dt},$$
где $s_1$ и $s_2$ - длины дуг, пройденные первым и вторым шариками соответственно, а ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$ - углы, на которые повернулись первый и второй шарики соответственно.

Так как радиус первого шарика больше в $k$ раз, можно записать соотношение для $v_1$ в виде:
$$v_1=k{v}_2.$$

Теперь мы можем связать $v_1$, $v_2$, $a_1$ и $a_2$:
$$a_1=\frac{d}{dt}\left(r_1\frac{d{\theta }_1}{dt}\right),$$
$$a_2=\frac{d}{dt}\left(r_2\frac{d{\theta }_2}{dt}\right).$$

Подставим выражения для $v_1$ и $v_2$ в уравнение закона сохранения энергии:
$$\frac{1}{2}{m}_1{\left(k{v}_2\right)}^2=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2.$$

Упростим это уравнение:
$$m_1{k}^2{v}_2^2=(m_1+m_2)v^2.$$

Теперь заменим $v_1$ и $v_2$ в уравнениях ускорений:
$$a_1=\frac{d}{dt}\left(r_1\frac{d{\theta }_1}{dt}\right),$$
$$a_2=\frac{d}{dt}\left(r_2\frac{d{\theta }_2}{dt}\right).$$

После подстановки и упрощения получим:
$$\frac{d^2{\theta }_1}{d{t}^2}=\frac{a_1}{r_1{k}^2},$$
$$\frac{d^2{\theta }_2}{d{t}^2}=\frac{a_2}{r_2}.$$

Теперь заменим $a_1$ и $a_2$ в уравнении закона сохранения импульса:
$$m_1\frac{a_1}{r_1{k}^2}=m_2\frac{a_2}{r_2}.$$

Упростим это уравнение:
$$a_1=\frac{m_2{r}_1}{m_1{r}_2{k}^2}{a}_2.$$

Теперь у нас есть выражение для ускорения первого шарика через ускорение второго шарика:
$$a_1=\frac{m_2{r}_1}{m_1{r}_2{k}^2}{a}_2.$$

Дано, что $k=3$, так как радиус первого шарика в 3 раза больше радиуса второго шарика. Подставляем это значение:
$$a_1=\frac{m_2{r}_1}{m_1{r}_2{3}^2}{a}_2.$$

Теперь нам нужно выразить массу второго шарика $m_2$ через массу первого шарика $m_1$ и коэффициент пропорциональности $k$. Так как плотность шарика постоянна, масса шарика пропорциональна его объему, который определяется кубом его радиуса. Поэтому получаем:
$$\frac{m_2}{m_1}={\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^3.$$

Подставляем значения:
$$\frac{m_2}{m_1}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3.$$

Упрощаем:
$$\frac{m_2}{m_1}=\frac{1}{27}.$$

Теперь подставим это соотношение в выражение для $a_1$:
$$a_1=\frac{\frac{1}{27}{r}_1}{r_2{3}^2}{a}_2.$$

Упростим:
$$a_1=\frac{1}{243}\cdot \frac{r_1}{r_2}{a}_2.$$

Подставим значение $k=3$:
$$a_1=\frac{1}{243}\cdot \frac{r_1}{r_2}{a}_2.$$

Теперь, единственное, что нам осталось сделать, это заменить $r_1$ и $r_2$ на $k$ и $r_2$, соответственно:
$$a_1=\frac{1}{243}\cdot \frac{3\cdot r_2}{r_2}{a}_2.$$

Упростим это уравнение:
$$a_1=\frac{1}{81}{a}_2.$$

Таким образом, отношение ускорений первого и второго шарика равно $\frac{1}{81}$. Ответ: $\frac{1}{81}$.