Каково отношение ускорений a1a2, приобретенных двумя каменными шариками при их столкновении на гладкой поверхности?

Чтобы найти отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\) при столкновении двух каменных шариков, нам понадобится применить закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Поскольку столкновение происходит на гладкой поверхности, можно считать, что внешние силы не влияют на систему и главный закон воздействия столкновения - это сохранение импульса.

Пусть \(m_1\) и \(m_2\) - массы первого и второго шарика соответственно, \(v_1\) и \(v_2\) - их начальные скорости до столкновения, \(u_1\) и \(u_2\) - их конечные скорости после столкновения, \(a_1\) и \(a_2\) - их ускорения.

Закон сохранения импульса можно выразить следующим образом:
\[m_1v_1 + m_2v_2 = m_1u_1 + m_2u_2\]

Также, поскольку столкновение происходит на гладкой поверхности без потери энергии, можно сказать, что закон сохранения энергии тоже выполняется:
\(\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2\)

Из условия задачи известно, что радиус первого шарика составляет четверть радиуса второго шарика. Пусть \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы шариков, тогда \(r_1 = \frac{1}{4}r_2\). Если мы предположим, что массы шариков пропорциональны их объемам, то можно сказать, что \(m_1 = \frac{1}{64}m_2\) поскольку объем шарика пропорционален третьей степени его радиуса.

Теперь мы можем решить систему уравнений, состоящую из двух уравнений сохранения импульса и энергии.

Для начала, подставим \(m_1 = \frac{1}{64}m_2\) и \(v_1 = 0\) (поскольку первый шарик неподвижен) в уравнение сохранения импульса:
\[\frac{1}{64}m_2 \cdot 0 + m_2v_2 = \frac{1}{64}m_2u_1 + m_2u_2\]

Упростим:
\[63m_2v_2 = \frac{65}{64}m_2(u_1 + u_2)\]

Теперь, подставим \(m_1 = \frac{1}{64}m_2\) и \(v_1 = 0\) в уравнение сохранения энергии:
\[\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{64}m_2u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2\]

Упростим:
\[\frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{64}m_2u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2\]

Теперь, давайте решим эту систему уравнений.

Перенесем все слагаемые с \(u_1\) и \(u_2\) на одну сторону уравнения сохранения импульса:
\[63m_2v_2 - \frac{65}{64}m_2(u_1 + u_2) = 0\]
\[63v_2 - \frac{65}{64}(u_1 + u_2) = 0\]
\[63v_2 = \frac{65}{64}(u_1 + u_2)\]

Теперь, подставим это в уравнение сохранения энергии:
\[\frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{64}m_2u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2\]
\[v_2^2 = \frac{1}{64}u_1^2 + u_2^2\]

Теперь, подставим \(v_2\) из первого уравнения во второе уравнение:
\[(\frac{65}{64}(u_1 + u_2))^2 = \frac{1}{64}u_1^2 + u_2^2\]
\[(\frac{65}{64})^2(u_1 + u_2)^2 = \frac{1}{64}u_1^2 + u_2^2\]

Раскроем скобки и упростим:
\[(\frac{65}{64})^2u_1^2 + 2 \cdot (\frac{65}{64})^2u_1u_2 + (\frac{65}{64})^2u_2^2 = \frac{1}{64}u_1^2 + u_2^2\]
\[(\frac{65}{64})^2u_1^2 - \frac{1}{64}u_1^2 + (\frac{65}{64})^2u_2^2 - u_2^2 = - 2 \cdot (\frac{65}{64})^2u_1u_2\]

Сократим дроби:
\[u_1^2(\frac{65}{64})^2 - \frac{1}{64}u_1^2 + u_2^2((\frac{65}{64})^2 - 1) = - 2 \cdot (\frac{65}{64})^2u_1u_2\]
\[(\frac{65}{64})^2u_1^2 - \frac{1}{64}u_1^2 + (\frac{65}{64})^2u_2^2 - u_2^2 = - 2 \cdot (\frac{65}{64})^2u_1u_2\]
\[(\frac{65}{64})^2u_1^2 - \frac{1}{64}u_1^2 + (\frac{65}{64})^2u_2^2 - u_2^2 - 2 \cdot (\frac{65}{64})^2u_1u_2 = 0\]

Теперь, сведем все слагаемые к общему знаменателю:
\[\frac{4225}{4096}u_1^2 - \frac{64}{4096}u_1^2 + \frac{4225}{4096}u_2^2 - \frac{64}{4096}u_2^2 - \frac{81920}{4096}u_1u_2 = 0\]

Упростим числители:
\[\frac{4161}{4096}u_1^2 + \frac{4161}{4096}u_2^2 - \frac{81920}{4096}u_1u_2 = 0\]

Теперь сложим дроби с \(u_1^2\) и дроби с \(u_2^2\):
\[\frac{4161}{4096}(u_1^2 + u_2^2) - \frac{81920}{4096}u_1u_2 = 0\]

Упростим уравнение:
\[\frac{4161}{4096}(u_1^2 + u_2^2) = \frac{81920}{4096}u_1u_2\]

Теперь поделим обе части на \(u_1u_2\):
\[\frac{4161}{4096}\frac{u_1^2 + u_2^2}{u_1u_2} = \frac{81920}{4096}\]

Упростим дроби:
\[\frac{4161}{4096}\frac{u_1}{u_2} + \frac{4161}{4096}\frac{u_2}{u_1} = 20\]

Теперь, заметим, что отношение \(\frac{u_1}{u_2}\) это искомое отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\). Таким образом, мы получаем, что:
\[\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_1} = 20\]

Теперь мы можем решить это уравнение. Путем приведения к общему знаменателю получаем:
\[\frac{a_1^2 + a_2^2}{a_1a_2} = 20\]

Перемножим обе части на \(a_1a_2\) и упростим уравнение:
\[a_1^2 + a_2^2 = 20a_1a_2\]

Теперь мы видим, что данное уравнение необходимо решить для \(a_1\) и \(a_2\). Однако, без дополнительной информации о значениях масс и скоростей шариков, не сможем найти точные значения \(a_1\) и \(a_2\).

Таким образом, ответом будет уравнение \(a_1^2 + a_2^2 = 20a_1a_2\). Отношение ускорений \(a_1\) и \(a_2\) при столкновении двух каменных шариков на гладкой поверхности можно представить в виде этого уравнения.