Каково отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара, если высота цилиндра втрое больше

Для начала, давайте определим формулы для площади поверхности цилиндра и площади поверхности шара.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле:
\[П_б = 2 \pi r h\]

где \(П_б\) - площадь боковой поверхности цилиндра, \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14, \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра.

Площадь поверхности шара можно выразить следующей формулой:
\[П_ш = 4 \pi r^2\]

где \(П_ш\) - площадь поверхности шара, \(\pi\) - также математическая константа, \(r\) - радиус шара.

Информация задачи говорит, что высота цилиндра втрое больше диаметра его основания. Диаметр - это двойное значение радиуса, поэтому данный факт можно записать следующим образом:
\[h = 3 \cdot 2r\]
\[h = 6r\]

Теперь подставим это значение в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:
\[П_б = 2 \pi r (6r)\]
\[П_б = 12 \pi r^2\]

Теперь у нас есть формула для площади боковой поверхности цилиндра.

Получим отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара:
\[\frac{{П_б}}{{П_ш}} = \frac{{12 \pi r^2}}{{4 \pi r^2}}\]

Заметим, что \(\pi r^2\) содержится и в числителе, и в знаменателе. Поэтому можно сократить этот множитель:
\[\frac{{П_б}}{{П_ш}} = \frac{{12 \pi r^2}}{{4 \pi r^2}} = \frac{{12}}{{4}}\]

Продолжим упрощать:
\[\frac{{12}}{{4}} = 3\]

Таким образом, отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара равно 3. Это означает, что площадь боковой поверхности цилиндра в 3 раза больше, чем площадь поверхности шара.