Какова площадь боковой поверхности в правильной треугольной пирамиде, если периметр основания составляет 18 дм? Какова

Для начала, давайте посмотрим на правильную треугольную пирамиду и разберемся с некоторыми понятиями.


В данной задаче, основание пирамиды - это правильный треугольник, а боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники, так как их две стороны равны основанию.

Периметр основания составляет 18 дм, что означает, что сумма длин всех сторон правильного треугольника равна 18 дм. Для нашего рассчета обозначим длину одной стороны основания как \(a\).

Так как у нас правильный треугольник, то все три стороны основания равны между собой, то есть \(a = a = a\).

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[a + a + a = 18\]

Упрощая его, получим:

\[3a = 18\]

Делим обе части на 3:

\[a = 6\]

Теперь, когда мы знаем длину стороны основания, мы можем перейти к расчету площади боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, умножив полупериметр основания (сумму длин всех сторон основания, деленную на 2) на апофему пирамиды.

Апофема пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания. В нашем случае, апофема будет равна высоте правильного треугольника, так как она перпендикулярна основанию и проходит через центр основания.

Для нахождения площади боковой поверхности нам необходимо знать апофему. Для этого мы можем использовать формулу апофемы \(a_f = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\), где \(a\) - длина стороны основания.

Подставляя в формулу значения, получаем:

\[a_f = \frac{6}{2 \sqrt{3}}\]

Чтобы узнать плоский угол при вершине пирамиды, нам понадобится тангенс этого угла (\(tg\theta\)), который можно найти, разделив апофему на полупериметр основания:

\[tg\theta = \frac{a_f}{\frac{3a}{2}}\]

Подставим значения:

\[tg\theta = \frac{\frac{6}{2 \sqrt{3}}}{\frac{3 \cdot 6}{2}}\]

Упростим выражение:

\[tg\theta = \frac{\frac{3}{\sqrt{3}}}{9}\]

Далее можно найти \(tg\theta\) и плоский угол, используя тригонометрические функции.

\[tg\theta = \frac{1}{3 \sqrt{3}}\]

\[tg\theta \approx 0.1924\]

Таким образом, площадь боковой поверхности в данной правильной треугольной пирамиде равна \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \frac{6}{2 \sqrt{3}}\) и апофема \(a_f \approx \frac{6}{2 \sqrt{3}}\), а плоский угол при вершине пирамиды \(\theta \approx 0.1924\).