Каково отношение периодов колебаний двух пружинных маятников одинаковой массы, собранных из двух пружин, соединенных

Для решения этой задачи нам понадобится знание закона Гука для пружинного маятника и закона сохранения энергии.

Давайте сначала рассмотрим случай, когда две пружины соединены последовательно. В этом случае маятники будут колебаться вместе, то есть иметь одинаковую амплитуду и период. Возьмем обозначение \(T_s\) для периода колебаний маятника с двумя пружинами, соединенными последовательно.

Закон Гука гласит, что сила, восстанавливающая пружину, пропорциональна её деформации. Для пружины с коэффициентом упругости \(k_1\) эта связь может быть выражена как:

\[F_1 = -k_1 x_1,\]

где \(F_1\) - сила, действующая на маятник, \(x_1\) - деформация пружины.

Рассмотрим второй случай, когда две пружины соединены параллельно. В этом случае маятники будут колебаться независимо друг от друга. Обозначим период колебаний маятника с двумя пружинами, соединенными параллельно, как \(T_p\).

Закон Гука для каждой пружины может быть записан следующим образом:

\[F_2 = -k_2 x_2,\]

где \(F_2\) - сила, действующая на маятник, \(x_2\) - деформация пружины, \(k_2\) - коэффициент упругости второй пружины.

Используя закон сохранения энергии, мы можем составить уравнения для нахождения периода колебаний в обоих случаях.

Для маятника с двумя пружинами, соединенными последовательно, полная энергия маятника равна кинетической энергии плюс потенциальной энергии:

\[E_s = \frac{1}{2} m v_s^2 + \frac{1}{2} k_1 x_1^2,\]

где \(m\) - масса маятника, \(v_s\) - скорость маятника.

Аналогично, для маятника с двумя пружинами, соединенными параллельно, полная энергия маятника равна:

\[E_p = \frac{1}{2} m v_p^2 + \frac{1}{2} k_2 x_2^2.\]

Так как масса маятников одинакова, мы можем отбросить массу \(m\) из уравнений.

Пусть \(k_{\text{эфф}}\) будет эквивалентным коэффициентом упругости, который представляет собой комбинацию коэффициентов упругости обеих пружин:

\[k_{\text{эфф}} = \frac{1}{\frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}}.\]

Теперь, используя закон сохранения энергии для маятников, мы можем составить уравнения равенства энергий для обоих случаев:

\[\frac{1}{2} k_1 x_1^2 + \frac{1}{2} m v_s^2 = \frac{1}{2} k_{\text{эфф}} x_1^2,\]

\[\frac{1}{2} k_2 x_2^2 + \frac{1}{2} m v_p^2 = \frac{1}{2} k_{\text{эфф}} x_2^2.\]

Пренебрегая массой маятника и выражая скорости через периоды колебаний (\(v_s = \frac{2\pi x_1}{T_s}\), \(v_p = \frac{2\pi x_2}{T_p}\)), получаем:

\[\frac{2\pi x_1}{T_s} = 2\pi x_1 \cdot \frac{1}{T_s},\]

\[\frac{2\pi x_2}{T_p} = 2\pi x_2 \cdot \frac{1}{T_p}.\]

Таким образом, мы можем установить следующие соотношения:

\[\frac{1}{T_s} = \frac{k_{\text{эфф}}}{k_1},\]

\[\frac{1}{T_p} = \frac{k_{\text{эфф}}}{k_2}.\]

Отношение периодов колебаний двух пружинных маятников одинаковой массы, собранных из двух пружин, соединенных последовательно и параллельно, равно отношению их эквивалентных коэффициентов упругости:

\[\frac{T_s}{T_p} = \frac{k_2}{k_1}.\]