Каково отношение объема шарового сегмента к объему шара, если высота шарового сегмента составляет 1/3 от диаметра шара?

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться соотношением объемов шара и шарового сегмента. Отношение объема шарового сегмента к объему шара можно найти, используя формулу для объема шарового сегмента.

Формула для объема шарового сегмента:
\[V = \frac{1}{6}\pi h(3a^2 + h^2)\]
где \(V\) - объем шарового сегмента, \(\pi\) - число Пи (примерное значение 3.14), \(h\) - высота шарового сегмента, \(a\) - радиус шара.

Также, для нахождения отношения объема шарового сегмента к объему шара, нам понадобится формула для объема шара:
\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3\]
где \(V_{\text{шара}}\) - объем шара, \(\pi\) - число Пи (примерное значение 3.14), \(r\) - радиус шара.

Для начала, давайте найдем радиус шара, используя заданную высоту:
\(h = \frac{1}{3}d\),
где \(h\) - высота шарового сегмента, \(d\) - диаметр шара.

Радиус шара можно найти, подставив известное выражение для \(h\) в формулу радиуса шара:
\(r = \frac{d}{2}\).

Теперь, подставим найденное значение радиуса шара в формулу для объема шарового сегмента:
\[V = \frac{1}{6}\pi h(3a^2 + h^2)\]

Подставим значение \(h\), используя заданное соотношение \(h = \frac{1}{3}d\):
\[V = \frac{1}{6}\pi \left(\frac{1}{3}d\right) \left(3a^2 + \left(\frac{1}{3}d\right)^2\right)\]

Упростим это выражение:
\[V = \frac{1}{6}\pi \left(\frac{1}{3}d\right) \left(3a^2 + \frac{1}{9}d^2\right)\]
\[V = \frac{1}{18}\pi d \left(9a^2 + \frac{1}{3}d^2\right)\]

Таким образом, отношение объема шарового сегмента к объему шара будет:
\[\frac{V}{V_{\text{шара}}} = \frac{\frac{1}{18}\pi d \left(9a^2 + \frac{1}{3}d^2\right)}{\frac{4}{3}\pi r^3}\]

Подставим значение \(r\) и упростим дробь:
\[\frac{V}{V_{\text{шара}}} = \frac{\frac{1}{18}\pi d \left(9a^2 + \frac{1}{3}d^2\right)}{\frac{4}{3}\pi \left(\frac{d}{2}\right)^3}\]
\[\frac{V}{V_{\text{шара}}} = \frac{\frac{1}{18}\pi \cancel{d} \left(9a^2 + \frac{1}{3}\cancel{d}^2\right)}{\frac{4}{3}\pi \left(\frac{\cancel{d}}{2}\right)^3}\]
\[\frac{V}{V_{\text{шара}}} = \frac{\left(9a^2 + \frac{1}{3}d^2\right)}{\left(\frac{4}{3}\right)\left(\frac{d}{2}\right)^3}\]

Вот и получается ответ. Но не зная значения \(a\), давать конкретное числовое значение отношения нельзя. Отношение объема шарового сегмента к объему шара будет зависеть от значения радиуса шара и неизвестной величины \(a\).