1) Найдите длину стороны правильного четырехугольника описанного около данной окружности, если длина стороны вписанного

Для решения этой задачи нам понадобится знание некоторых свойств правильных многоугольников и окружностей.

1) Правильный вписанный четырехугольник имеет все стороны одинаковой длины. По условию длина стороны вписанного четырехугольника равна 2. Обозначим эту длину как \(a\).
Также, известно, что сторона описанного четырехугольника пересекает окружность в точках, которые являются серединными точками сторон вписанного четырехугольника.
Пусть \(b\) - это длина стороны описанного четырехугольника. Тогда, согласно условию, \(a = 2\).

Чтобы найти \(b\), мы можем использовать свойство описанного четырехугольника, которое гласит, что длина стороны описанного четырехугольника равна диаметру окружности.

Так как длина стороны вписанного четырехугольника равна 2, то можно найти радиус окружности, вокруг которой описан данный четырехугольник. Радиус окружности \(R\) может быть найден с использованием формулы для радиуса вписанной окружности:

\[R = \frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{n})}\]

где \(n\) - количество сторон в многоугольнике. Для четырехугольника \(n = 4\), поэтому

\[R = \frac{a}{2\sin(\frac{\pi}{4})}\]

\[R = \frac{2}{2\sin(\frac{\pi}{4})}\]

\[R = \frac{2}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\]

Таким образом, радиус окружности, вокруг которой описан данный четырехугольник, равен \(\sqrt{2}\).

Теперь, используя свойство описанного четырехугольника, мы можем найти длину стороны описанного четырехугольника:

\[b = 2R = 2\sqrt{2}\]

Ответ: Длина стороны правильного четырехугольника, описанного около данной окружности, равна \(2\sqrt{2}\).

2) Для нахождения площади правильного треугольника, описанного около окружности, в которую вписан правильный шестиугольник, нам понадобятся некоторые свойства правильных многоугольников.

Площадь правильного треугольника можно найти с использованием формулы:

\[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

Длина стороны правильного шестиугольника равна длине стороны вписанного четырехугольника, которая в задаче равна 2 (обозначим ее как \(a\)).
Таким образом, площадь правильного треугольника равна:

\[S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4}\]

\[S = \frac{4\sqrt{3}}{4}\]

\[S = \sqrt{3}\]

Ответ: Площадь правильного треугольника, описанного около окружности, в которую вписан правильный шестиугольник со стороной 2, равна \(\sqrt{3}\).