Найдите остальные углы трапеции, если середина одной из боковых сторон равноудалена от двух вершин противоположной

Для начала, представим себе трапецию и обозначим ее углы:

\[
\begin{array}{c}
\angle A = 50^\circ \\
\angle B \\
\angle C \\
\angle D
\end{array}
\]

Мы знаем, что сумма углов в трапеции равна \(360^\circ\) (так как это выпуклый четырехугольник). Поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
\]

Подставим известное значение \(\angle A = 50^\circ\) и упростим выражение:

\[
50^\circ + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
\]

Теперь давайте рассмотрим информацию о средней точке одной из боковых сторон, которая равноудалена от двух вершин противоположной боковой стороны. Обозначим эту середину как точку \(M\), а вершины трапеции как \(A, B, C\) и \(D\).

Так как середина стороны \(AB\) равноудалена от вершин \(C\) и \(D\), то отрезки \(AM\) и \(BM\) имеют одинаковую длину. Аналогично, отрезки \(CM\) и \(DM\) также имеют одинаковую длину.

Таким образом, у нас есть следующие равенства длин:

\[
AM = BM \quad \text{и} \quad CM = DM
\]

Теперь обратимся к теореме, которая гласит, что в треугольнике длина медианы, проведенной к одной из сторон, равна половине длины этой стороны.

Согласно этой теореме, мы можем записать следующие равенства:

\[
AM = \frac{AB}{2} \quad \text{и} \quad BM = \frac{AB}{2}
\]

Так как один из углов трапеции \(\angle A\) равен \(50^\circ\), то угол \(\angle B\) (противоположный \(\angle A\)) также равен \(50^\circ\). Из этого следует, что треугольник \(ABM\) является равнобедренным треугольником, и у него два равных угла.

Теперь мы можем записать следующее уравнение для суммы углов в треугольнике \(ABM\):

\[
50^\circ + 50^\circ + \angle B = 180^\circ
\]

Суммируя углы, получаем:

\[
100^\circ + \angle B = 180^\circ
\]

Вычитаем \(100^\circ\) из обеих сторон уравнения:

\[
\angle B = 80^\circ
\]

Таким образом, мы определили, что угол B равен \(80^\circ\).

Теперь, когда у нас есть значение угла \(B\), мы можем использовать уравнение суммы углов в трапеции для определения значения углов \(C\) и \(D\):

\[
50^\circ + 80^\circ + \angle C + \angle D = 360^\circ
\]

Складываем известные значения:

\[
130^\circ + \angle C + \angle D = 360^\circ
\]

Вычитаем \(130^\circ\) из обеих сторон уравнения:

\[
\angle C + \angle D = 230^\circ
\]

Теперь у нас есть уравнение, связывающее углы \(C\) и \(D\). Мы не можем найти точные значения каждого угла, но можем определить только сумму их мер.

Мы можем использовать этот факт и заменить один угол другим:

\[
\angle D = 230^\circ - \angle C
\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (\(\angle C\)), и мы можем решить его:

\[
80^\circ + \angle C = 230^\circ
\]

Вычитаем \(80^\circ\) из обеих сторон уравнения:

\[
\angle C = 150^\circ
\]

Теперь что было равносторонним, получим:

\[
\angle D = 230^\circ - 150^\circ = 80^\circ
\]

Таким образом, мы нашли, что углы \(C\) и \(D\) трапеции равны \(150^\circ\) и \(80^\circ\) соответственно.

Итак, ответ на задачу состоит в том, что остальные углы трапеции равны \(80^\circ\) и \(150^\circ\).