Каково отношение объема шара к объему конуса, если диаметр шара равен диаметру основания конуса и осевым сечением

Отношение объема шара к объему конуса можно вычислить с помощью следующих шагов:

1. Для начала, нам нужно знать формулы для вычисления объемов шара и конуса.
Объем шара вычисляется по формуле:
\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3\],
где \(r\) - радиус шара.

Объем конуса вычисляется по формуле:
\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\],
где \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

2. По условию задачи говорится, что диаметр шара равен диаметру основания конуса. Поскольку радиус шара - это половина его диаметра, то радиус шара (\(r_{\text{шара}}\)) и радиус основания конуса (\(r_{\text{конуса}}\)) будут равными.

3. Также в условии задачи сказано, что осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник. Обычно, высота конуса (\(h_{\text{конуса}}\)) измеряется от вершины конуса до основания, но в данном случае, высота будет равна одной из сторон прямоугольного треугольника. Давайте обозначим эту сторону как \(a\) и используем ее для вычисления объема конуса.

4. Теперь мы можем выразить радиусы шара и конуса через \(a\):
\(r_{\text{шара}} = \frac{a}{2}\),
\(r_{\text{конуса}} = \frac{a}{2}\).

5. Подставим эти значения радиусов в формулы объемов шара и конуса:
Объем шара:
\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^3\],
Объем конуса:
\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 a\].

6. Теперь посчитаем значения этих объемов. Раскроем скобки и упростим выражения:
\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{a^3}{8} = \frac{\pi a^3}{6},\]
\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{\pi a^3}{12}.\]

7. Окончательный ответ: отношение объема шара к объему конуса равно:
\[\frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{конуса}}} = \frac{\frac{\pi a^3}{6}}{\frac{\pi a^3}{12}} = \frac{2}{1}\].

Таким образом, отношение объема шара к объему конуса равно 2:1. Это значит, что объем шара вдвое больше объема конуса с такими же характеристиками.