Каково отношение неопределенностей для электрона с точностью определения его координаты до 10-5 м и для пылинки массой

Для начала, давайте введем необходимые формулы. Отношение неопределенностей $\mathrm{\Delta }x$ и $\mathrm{\Delta }p$ для частицы определяется соотношением неопределенности Гейзенберга:

$$\mathrm{\Delta }x\cdot \mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}$$

где $\mathrm{\Delta }x$ - неопределенность в координате, $\mathrm{\Delta }p$ - неопределенность в импульсе, а $\hslash$ - постоянная Планка, равная $1.054\times {10}^{-34}\text{Дж}\cdot \text{с}$.

Для электрона и пылинки нам даны точности определения их координат. Для электрона $\mathrm{\Delta }{x}_{\text{электрона}}={10}^{-5}\text{м}$, а для пылинки $\mathrm{\Delta }{x}_{\text{пылинки}}={10}^{-5}\text{м}$.

Теперь, чтобы найти соотношение неопределенностей для электрона и пылинки, нам нужно найти неопределенность в импульсе для каждой частицы. Мы можем использовать классическое выражение для импульса:

$$p=m\cdot v$$

где $m$ - масса частицы, а $v$ - её скорость.

Для электрона масса составляет $m_{\text{электрона}}=9.109\times {10}^{-31}\text{кг}$, а у пылинки масса $m_{\text{пылинки}}={10}^{-10}\text{кг}$.

К сожалению, в условии не указана скорость электрона и пылинки, поэтому нам нужно будет сделать предположение.

Предположим, что и электрон, и пылинка имеют скорость, равную средней скорости теплового движения частиц - скорость Броуновского движения. Данная скорость составляет приблизительно ${10}^3\text{м/с}$.

Теперь мы можем найти неопределенности в импульсе для электрона и пылинки:

Для электрона:
$$\mathrm{\Delta }{p}_{\text{электрона}}=m_{\text{электрона}}\cdot v_{\text{электрона}}=9.109\times {10}^{-31}\text{кг}\cdot {10}^3\text{м/с}$$

Для пылинки:
$$\mathrm{\Delta }{p}_{\text{пылинки}}=m_{\text{пылинки}}\cdot v_{\text{пылинки}}={10}^{-10}\text{кг}\cdot {10}^3\text{м/с}$$

Теперь мы можем найти отношение неопределенностей для электрона и пылинки, подставив значения в соотношение неопределенности Гейзенберга:

$$\frac{\mathrm{\Delta }{x}_{\text{электрона}}}{\mathrm{\Delta }{p}_{\text{электрона}}}=\frac{\frac{\hslash }{2}}{\mathrm{\Delta }{p}_{\text{электрона}}}$$

$$\text{Extra close brace or missing open brace}$$

Теперь давайте подставим значения и рассчитаем результат:

Для электрона:
$$\frac{\mathrm{\Delta }{x}_{\text{электрона}}}{\mathrm{\Delta }{p}_{\text{электрона}}}=\frac{1.054\times {10}^{-34}\text{Дж}\cdot \text{с}/2}{9.109\times {10}^{-31}\text{кг}\cdot {10}^3\text{м/с}}$$

Для пылинки:
$$\text{Extra close brace or missing open brace}$$

Далее мы можем рассчитать численные значения и привести ответ:

Для электрона:
$$\frac{\mathrm{\Delta }{x}_{\text{электрона}}}{\mathrm{\Delta }{p}_{\text{электрона}}}\approx \frac{1.054\times {10}^{-34}\text{Дж}\cdot \text{с}}{9.109\times {10}^{-28}\text{килограмм}\cdot \text{м/с}}\approx 1.16\times {10}^{-6}\text{м}\cdot \text{кг/с}$$

Для пылинки:
$$\frac{\mathrm{\Delta }{x}_{\text{пылинки}}}{\mathrm{\Delta }{p}_{\text{пылинки}}}\approx \frac{1.054\times {10}^{-34}\text{Дж}\cdot \text{с}}{{10}^{-7}\text{килограмм}\cdot \text{м/с}}\approx 5.27\times {10}^{-4}\text{м}\cdot \text{кг/с}$$

Таким образом, отношение неопределенностей для электрона и пылинки будет:

Отношение неопределенностей для электрона: $1.16\times {10}^{-6}\text{м}\cdot \text{кг/с}$

Отношение неопределенностей для пылинки: $5.27\times {10}^{-4}\text{м}\cdot \text{кг/с}$