Каково отношение неопределенностей для электрона с точностью определения его координаты до 10-5 м и для пылинки массой

Для начала, давайте введем необходимые формулы. Отношение неопределенностей \( \Delta x \) и \( \Delta p \) для частицы определяется соотношением неопределенности Гейзенберга:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

где \( \Delta x \) - неопределенность в координате, \( \Delta p \) - неопределенность в импульсе, а \( \hbar \) - постоянная Планка, равная \( 1.054 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} \).

Для электрона и пылинки нам даны точности определения их координат. Для электрона \( \Delta x_{\text{электрона}} = 10^{-5} \, \text{м} \), а для пылинки \( \Delta x_{\text{пылинки}} = 10^{-5} \, \text{м} \).

Теперь, чтобы найти соотношение неопределенностей для электрона и пылинки, нам нужно найти неопределенность в импульсе для каждой частицы. Мы можем использовать классическое выражение для импульса:

\[ p = m \cdot v \]

где \( m \) - масса частицы, а \( v \) - её скорость.

Для электрона масса составляет \( m_{\text{электрона}} = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{кг} \), а у пылинки масса \( m_{\text{пылинки}} = 10^{-10} \, \text{кг} \).

К сожалению, в условии не указана скорость электрона и пылинки, поэтому нам нужно будет сделать предположение.

Предположим, что и электрон, и пылинка имеют скорость, равную средней скорости теплового движения частиц - скорость Броуновского движения. Данная скорость составляет приблизительно \( 10^3 \, \text{м/с} \).

Теперь мы можем найти неопределенности в импульсе для электрона и пылинки:

Для электрона:
\[ \Delta p_{\text{электрона}} = m_{\text{электрона}} \cdot v_{\text{электрона}} = 9.109 \times 10^{-31} \, \text{кг} \cdot 10^3 \, \text{м/с} \]

Для пылинки:
\[ \Delta p_{\text{пылинки}} = m_{\text{пылинки}} \cdot v_{\text{пылинки}} = 10^{-10} \, \text{кг} \cdot 10^3 \, \text{м/с} \]

Теперь мы можем найти отношение неопределенностей для электрона и пылинки, подставив значения в соотношение неопределенности Гейзенберга:

\[ \frac{\Delta x_{\text{электрона}}}{\Delta p_{\text{электрона}}} = \frac{\frac{\hbar}{2}}{\Delta p_{\text{электрона}}} \]

\[ \frac{\Delta x_{\text{пылинки}}}{\Delta p_{\text{пылинки}}}} = \frac{\frac{\hbar}{2}}{\Delta p_{\text{пылинки}}} \]

Теперь давайте подставим значения и рассчитаем результат:

Для электрона:
\[ \frac{\Delta x_{\text{электрона}}}{\Delta p_{\text{электрона}}} = \frac{1.054 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}/2}{9.109 \times 10^{-31} \, \text{кг} \cdot 10^3 \, \text{м/с}} \]

Для пылинки:
\[ \frac{\Delta x_{\text{пылинки}}}{\Delta p_{\text{пылинки}}}} = \frac{1.054 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}/2}{10^{-10} \, \text{кг} \cdot 10^3 \, \text{м/с}} \]

Далее мы можем рассчитать численные значения и привести ответ:

Для электрона:
\[ \frac{\Delta x_{\text{электрона}}}{\Delta p_{\text{электрона}}} \approx \frac{1.054 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}{9.109 \times 10^{-28} \, \text{килограмм} \cdot \text{м/с}} \approx 1.16 \times 10^{-6} \, \text{м} \cdot \text{кг/с} \]

Для пылинки:
\[ \frac{\Delta x_{\text{пылинки}}}{\Delta p_{\text{пылинки}}} \approx \frac{1.054 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}}{10^{-7} \, \text{килограмм} \cdot \text{м/с}} \approx 5.27 \times 10^{-4} \, \text{м} \cdot \text{кг/с} \]

Таким образом, отношение неопределенностей для электрона и пылинки будет:

Отношение неопределенностей для электрона: \( 1.16 \times 10^{-6} \, \text{м} \cdot \text{кг/с} \)

Отношение неопределенностей для пылинки: \( 5.27 \times 10^{-4} \, \text{м} \cdot \text{кг/с} \)