Каково отношение длины окружности, описанной вокруг регулярного шестиугольника, к длине окружности, вписанной в него?

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим свойства регулярного шестиугольника и окружностей, описанных вокруг него и вписанных в него.

Регулярный шестиугольник - это шестиугольник, у которого все стороны и углы равны. Представляет собой шестиугольник с равномерно расположенными вершинами на окружности.

Для начала, найдем длину окружности, описанной вокруг регулярного шестиугольника. Для этого нам понадобится радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности равен радиусу шестиугольника, то есть расстоянию от его центра до любой вершины.

Пусть сторона регулярного шестиугольника равна \(a\). Мы можем найти радиус описанной окружности, используя формулу:

\[R = \frac{a}{2\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}\]

Здесь \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\) - это синус 30 градусов (поскольку внутренний угол регулярного шестиугольника равен 120 градусам, каждый из 6 углов будет равен \(\frac{120}{6} = 20\) градусам или \(\frac{\pi}{6}\) радиан).

Теперь давайте найдем длину окружности, вписанной в регулярный шестиугольник. Для этого нам понадобится радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен половине стороны регулярного шестиугольника.

\[r = \frac{a}{2}\]

Таким образом, чтобы найти отношение длины окружности, описанной вокруг регулярного шестиугольника, к длине окружности, вписанной в него, мы поделим длину окружности, описанной вокруг шестиугольника, на длину окружности, вписанной в него:

\[\frac{L_{\text{описанная}}}{L_{\text{вписанная}}} = \frac{2\pi R}{2\pi r} = \frac{R}{r}\]

Подставим значения радиусов:

\[\frac{\frac{a}{2\sin{\frac{\pi}{6}}}}{\frac{a}{2}} = \frac{1}{\sin{\frac{\pi}{6}}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2\]

Таким образом, отношение длины окружности, описанной вокруг регулярного шестиугольника, к длине окружности, вписанной в него, равно 2.

Это означает, что длина окружности, описанной вокруг шестиугольника, в два раза больше длины окружности, вписанной в него.