Каково нормальное ускорение точки в момент времени t = 1 секунда, если точка движется в плоскости согласно следующим

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для вычисления ускорения в координатной форме. Ускорение в координатной форме определяется как вторая производная пути (координаты) по времени. Итак, начнем:

1. Из заданных уравнений координат X и Y находим первую производную для каждой координаты. Рассмотрим уравнение Х = 2sin(2t):
\[ \frac{{dX}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} \left(2\sin(2t)\right) \]
\[ \frac{{dX}}{{dt}} = 4\cos(2t) \]

Теперь рассмотрим уравнение Y = 3cos(2t):
\[ \frac{{dY}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}} \left(3\cos(2t)\right) \]
\[ \frac{{dY}}{{dt}} = -6\sin(2t) \]

2. Рассчитаем вторые производные для X и Y. Найдем производную от \(\frac{{dX}}{{dt}}\) и \(\frac{{dY}}{{dt}}\). Для X:
\[ \frac{{d^2X}}{{dt^2}} = \frac{{d}}{{dt}} \left(4\cos(2t)\right) \]
\[ \frac{{d^2X}}{{dt^2}} = -8\sin(2t) \]

Для Y:
\[ \frac{{d^2Y}}{{dt^2}} = \frac{{d}}{{dt}} \left(-6\sin(2t)\right) \]
\[ \frac{{d^2Y}}{{dt^2}} = -12\cos(2t) \]

3. Итак, у нас есть вторые производные для X и Y. Чтобы найти нормальное ускорение точки в момент времени t = 1 секунда, мы должны подставить t = 1 в выражение для второй производной \(\frac{{d^2X}}{{dt^2}}\) и \(\frac{{d^2Y}}{{dt^2}}\).

Для X:
\[ \frac{{d^2X}}{{dt^2}} \Bigg|_{t=1} = -8\sin(2 \cdot 1) = -8\sin(2) \]

Для Y:
\[ \frac{{d^2Y}}{{dt^2}} \Bigg|_{t=1} = -12\cos(2 \cdot 1) = -12\cos(2) \]

Поэтому нормальное ускорение точки в момент времени t = 1 секунда равно \(-8\sin(2)\) м/с\(^2\) для координаты X и \(-12\cos(2)\) м/с\(^2\) для координаты Y.

4. Данные значения можно округлить до сотых долей:
\(-8\sin(2) \approx -9.09\) м/с\(^2\) (до сотых долей)
\(-12\cos(2) \approx -11.39\) м/с\(^2\) (до сотых долей)

Итак, окончательный ответ: нормальное ускорение точки в момент времени t = 1 секунда при условии движения точки согласно уравнениям X = 2sin(2t) и Y = 3cos(2t) составляет приблизительно -9.09 м/с\(^2\) для координаты X и -11.39 м/с\(^2\) для координаты Y.