Каково наименьшее значение функции Y= (x-18)^2*e^x-18 на отрезке [16,5]?

Хорошо, давайте рассмотрим пошаговое решение этой задачи.

1. Вначале найдем производную функции \(Y=(x-18)^2 \cdot e^{x-18}\) по переменной \(x\). Мы будем использовать правила производной произведения и цепного правила для производной экспоненциальной функции.

Итак, производная функции \(Y\) будет выглядеть следующим образом:
\[
Y" = 2(x-18)e^{x-18} + (x-18)^2e^{x-18}
\]

2. Теперь решим уравнение \(Y"(x) = 0\), чтобы найти критические точки функции \(Y\). Затем проверим, являются ли эти точки локальными минимумами или максимумами. Для этого мы приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
\[
2(x-18)e^{x-18} + (x-18)^2e^{x-18} = 0
\]

Давайте найдем все решения этого уравнения.

3. Решим уравнение \(2(x-18)e^{x-18} + (x-18)^2e^{x-18} = 0\). Получим:
\[
(x-18)(2e^{x-18} + (x-18)e^{x-18}) = 0
\]

Таким образом, у нас есть две возможности для решения этого уравнения:
- \(x-18 = 0\), что дает нам \(x = 18\).
- \(2e^{x-18} + (x-18)e^{x-18} = 0\), решение которого мы найдем численно.

4. Теперь нужно посчитать значения функции \(Y\) в критической точке \(x = 18\) и на границах интервала \([16,5]\). Затем сравним эти значения, чтобы найти наименьшее.

Осталось только найти значение функции в этих точках и проанализировать полученные результаты.

\[
Y(18) = (18-18)^2 \cdot e^{18-18} = 0 \cdot 1 = 0
\]
\[
Y(16) = (16-18)^2 \cdot e^{16-18} = 4 \cdot e^{-2}
\]
\[
Y(5) = (5-18)^2 \cdot e^{5-18} = 169 \cdot e^{-13}
\]

Теперь сравним эти значения и найдем наименьшее:

\begin{align*}
\text{Минимальное значение Y} &= \min\{0, 4e^{-2}, 169e^{-13}\} \\
&= 0
\end{align*}

Таким образом, наименьшее значение функции \(Y\) на отрезке \([16,5]\) равно 0.