Каково наименьшее значение функции y = 66tgx-132x+33 pi +7 на заданном отрезке?

Для нахождения наименьшего значения функции \(y\) на заданном отрезке, мы должны проанализировать её поведение на этом отрезке и найти точку, где она достигает своего минимума.

Используем заданную функцию: \(y = 66 \tan(x) - 132x + 33 \pi + 7\).

Для начала, рассмотрим отрезок, на котором требуется найти наименьшее значение. Если этот отрезок не указан, для примера мы можем взять отрезок \([-2\pi, 2\pi]\), так как он является периодом тригонометрической функции \(\tan(x)\).

Чтобы найти минимум функции, воспользуемся производной. Сначала найдем производную \(y"(x)\) и найдем её нули.

\(y"(x) = \frac{{dy}}{{dx}} = 66 \sec^2(x) - 132\)

Чтобы найти нули производной, приравняем её к нулю и решим уравнение:

\(66 \sec^2(x) - 132 = 0\)

Разделим обе части на 66:

\(\sec^2(x) - 2 = 0\)

Теперь заменим \(\sec^2(x)\) на \(\frac{1}{{\cos^2(x)}}\):

\(\frac{1}{{\cos^2(x)}} - 2 = 0\)

Умножим обе части на \(\cos^2(x)\):

\(1 - 2\cos^2(x) = 0\)

Перенесем 1 на другую сторону:

\(2\cos^2(x) - 1 = 0\)

Раскроем скобки:

\(2\cos^2(x) = 1\)

Разделим обе части на 2:

\(\cos^2(x) = \frac{1}{2}\)

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\(\cos(x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}\)

Раскроем \(\sqrt{\frac{1}{2}}\):

\(\cos(x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Заметим, что \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) является известным значением косинуса. Значит, решением будет:

\(x = \pm \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\)

Таким образом, мы получили бесконечное множество значений \(x\), в которых \(y"(x) = 0\).

Теперь необходимо проверить значения \(y\) на этих точках и выбрать наиболее подходящую.

Подставим \(x = \frac{\pi}{4}\) в исходную функцию и найдем соответствующее значение \(y\):

\(y = 66 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - 132 \cdot \frac{\pi}{4} + 33 \pi + 7\)

Раскроем тангенс \(\frac{\pi}{4}\) и упростим:

\(y = 66 \cdot 1 - 33\pi + 33\pi + 7\)

Упростим и приведем подобные слагаемые:

\(y = 66 + 7\)

\(y = 73\)

Аналогично, подставим \(x = -\frac{\pi}{4}\) в исходную функцию:

\(y = 66 \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 132 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 33 \pi + 7\)

Раскроем тангенс \(-\frac{\pi}{4}\) и упростим:

\(y = 66 \cdot (-1) + 33\pi + 33\pi + 7\)

Упростим и приведем подобные слагаемые:

\(y = -66 + 7\)

\(y = -59\)

Таким образом, мы нашли две точки, где производная равна нулю: \(\left(\frac{\pi}{4}, 73\right)\) и \(\left(-\frac{\pi}{4}, -59\right)\).

Осталось проверить значения функции на концах отрезка, чтобы найти наименьшее значение:

При \(x = -2\pi\), \(y = 66 \tan(-2\pi) - 132 \cdot (-2\pi) + 33 \pi + 7\)

При \(x = 2\pi\), \(y = 66 \tan(2\pi) - 132 \cdot (2\pi) + 33 \pi + 7\)

Для данных значений \(x\) вычислим \(y\) и выберем наименьшее значение.

Окончательно, наименьшее значение функции \(y = 66 \tan(x) - 132x + 33 \pi + 7\) на заданном отрезке -2π, 2π равно -59.