Яка довжина сторони основи правильної трикутної піраміди, якщо двогранний кут при основі піраміди дорівнює 60°?

Чтобы найти длину стороны основания правильной треугольной пирамиды, нам понадобится использовать некоторые свойства и формулы. Давайте начнем!

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является равносторонним треугольником, а высота перпендикулярна основанию и проходит через центр треугольника.

Известно, что двогранний угол при основании пирамиды равен 60°, а в равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

Сначала найдем высоту пирамиды. Так как равносторонний треугольник можно разделить на два равнобедренных треугольника, у которых основание - это одна из сторон равностороннего треугольника, а две другие стороны - это радиусы вписанной окружности. Длина радиуса вписанной окружности равна половине длины стороны равностороннего треугольника.

Таким образом, высота пирамиды будет равна утроенной длине радиуса вписанной окружности, так как в равностороннем треугольнике высота проходит через центр треугольника и равна утроенному радиусу вписанной окружности. Формула для высоты пирамиды:

\[h = 3 \cdot r\]

Теперь, чтобы найти длину стороны основания треугольной пирамиды, нам нужно знать радиус вписанной окружности. Для этого воспользуемся формулой, связанной с равносторонним треугольником:

\[r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

где \(a\) - длина стороны треугольника, \(r\) - радиус вписанной окружности.

Подставим значение радиуса в выражение для длины стороны основания:

\[a = 2\sqrt{3} \cdot r = 2\sqrt{3} \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} = a\]

Таким образом, длина стороны основания треугольной пирамиды равна \(a\).

В итоге, длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна \(a\).