Каково наибольшее значение функции y=корень из x3-75x+375 на интервале [-6;6]?

Чтобы найти наибольшее значение функции \(y = \sqrt{x^3-75x+375}\) на интервале \([-6;6]\), нам нужно найти максимальное значение этой функции в пределах данного интервала. Для этого мы можем использовать процесс дифференцирования и анализа экстремумов функции.

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Для этого возьмем производную каждого слагаемого отдельно:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x^3-75x+375}) = \frac{1}{2\sqrt{x^3-75x+375}} \cdot \frac{d}{dx}(x^3-75x+375)
\]

2. Теперь продифференцируем \(x^3-75x+375\) по переменной \(x\):
\[
\frac{d}{dx}(x^3-75x+375) = 3x^2-75
\]

3. Теперь мы можем подставить этот результат обратно в первую производную:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^3-75x+375}} \cdot (3x^2-75)
\]

4. Чтобы найти экстремумы функции, мы приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:
\[
\frac{1}{2\sqrt{x^3-75x+375}} \cdot (3x^2-75) = 0
\]

5. Решим это уравнение:
\[
\frac{3x^2-75}{2\sqrt{x^3-75x+375}} = 0
\]

Так как знаменатель не может быть равным нулю, то числитель должен равняться нулю:
\[
3x^2-75 = 0
\]

Решим полученное уравнение:
\[
3x^2 = 75
\]
\[
x^2 = \frac{75}{3}
\]
\[
x^2 = 25
\]
\[
x = \pm 5
\]

Получили две критические точки: \(x = -5\) и \(x = 5\).

6. Теперь проведем анализ знаков производной в окрестности каждой из критических точек, чтобы определить, где функция возрастает, а где убывает.

6.1 Для \(x < -5\):
Возьмем произвольное значение \(-10\). Подставим его в производную:
\[
\frac{1}{2\sqrt{x^3-75x+375}} \cdot (3x^2-75) = \frac{1}{2\sqrt{(-10)^3-75(-10)+375}} \cdot (3(-10)^2-75)
\]
\[
\frac{1}{2\sqrt{10^3 + 750 + 375}} \cdot (3 \cdot 100 - 75) = \frac{1}{2\sqrt{1125}} \cdot 225 > 0
\]

Производная положительна, значит, функция возрастает на интервале \((-\infty;-5)\).

6.2 Для \(-5 < x < 5\):
Возьмем произвольное значение \(0\). Подставим его в производную:
\[
\frac{1}{2\sqrt{x^3-75x+375}} \cdot (3x^2-75) = \frac{1}{2\sqrt{0^3-75 \cdot 0+375}} \cdot (3 \cdot 0^2-75)
\]
\[
\frac{1}{2\sqrt{375}} \cdot -75 < 0
\]

Производная отрицательна, значит, функция убывает на интервале \((-5;5)\).

6.3 Для \(x > 5\):
Возьмем произвольное значение \(10\). Подставим его в производную:
\[
\frac{1}{2\sqrt{x^3-75x+375}} \cdot (3x^2-75) = \frac{1}{2\sqrt{10^3-75 \cdot 10+375}} \cdot (3 \cdot 10^2-75)
\]
\[
\frac{1}{2\sqrt{925}} \cdot 225 > 0
\]

Производная положительна, значит, функция возрастает на интервале \( (5;+\infty)\).

7. Теперь возьмем граничные точки интервала и найдем значения функции в этих точках:
При \(x = -6\):
\[y = \sqrt{(-6)^3-75(-6)+375} = \sqrt{-216+450+375} = \sqrt{609} \approx 24.66\]

При \(x = 6\):
\[y = \sqrt{6^3-75 \cdot 6+375} = \sqrt{216-450+375} = \sqrt{141} \approx 11.87\]

8. Теперь мы можем сделать вывод о наибольшем значении функции на интервале \([-6;6]\). Максимальное значение достигается в точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, то есть где при \(x = -5\). Поэтому наибольшее значение функции равно \(y \approx 24.66\) при \(x = -5\).

Таким образом, наибольшее значение функции \(y=\sqrt{x^3-75x+375}\) на интервале \([-6;6]\) равно приблизительно 24.66, при \(x = -5\).