Как изменится выражение 2tg165°/(1-tg²165°)? Пожалуйста, выполните задание быстро

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Данное выражение можно преобразовать с помощью тригонометрических тождеств. Начнем с выражения \(2\tan(165°)\). Зная, что \(\tan(180° - \theta) = -\tan(\theta)\), мы можем записать \(\tan(165°) = -\tan(15°)\).

Теперь применим формулу \(\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}\), чтобы выразить наше исходное выражение через \(\tan(15°)\).

Заменив \(\tan(\theta)\) на \(-\tan(15°)\), мы получим:

\[2\tan(165°) = 2(-\tan(15°))\]

Теперь давайте заменим \(\tan(15°)\) в исходном выражении. Но сперва нужно вычислить \(\tan(15°)\).

Мы знаем формулу приведенного угла \(\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\theta)}{1 + \cos(\theta)}}\). Подставив \(\theta = 30°\), мы получим:

\[\tan(15°) = \tan\left(\frac{30°}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(30°)}{1 + \cos(30°)}}\]

Вычисляя значение выражения справа, мы получим \(\tan(15°) = \sqrt{3} - 1\).

Теперь вставим это значение обратно в наше исходное выражение:

\[2\tan(165°) = 2(-\sqrt{3} + 1)\]

Давайте теперь преобразуем вторую часть нашего исходного выражения \((1 - \tan^2(165°))\).

Используя формулу \(\tan^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{1 + \cos(2\theta)}\), заменим \(\tan^2(165°)\) на \(\frac{1 - \cos(330°)}{1 + \cos(330°)}\):

\[(1 - \tan^2(165°)) = \left(1 - \frac{1 - \cos(330°)}{1 + \cos(330°)}\right)\]

Для простоты вычислений, заменим \(\cos(330°)\) на \(\cos(30°)\). Это означает, что \(\cos(330°) = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это значение:

\[(1 - \tan^2(165°)) = \left(1 - \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\]

Вычисляя значения в скобках, получим:

\[(1 - \tan^2(165°)) = \frac{1 - \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Давайте объединим дроби в числитель и знаменатель:

\[(1 - \tan^2(165°)) = \frac{\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Вычитая значения в скобках, получаем:

\[(1 - \tan^2(165°)) = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Делаем сокращения:

\[(1 - \tan^2(165°)) = \frac{\sqrt{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}\]

Для простоты, давайте рационализируем знаменатель:

\[(1 - \tan^2(165°)) = \frac{\sqrt{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}\]

Теперь у нас есть оба преобразования исходного выражения. Давайте объединим их:

\[\frac{2\tan(165°)}{1 - \tan^2(165°)} = \frac{2(-\sqrt{3} + 1)}{\frac{2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}\]

Для удобства вычислений, мы можем сократить дроби:

\[\frac{2\tan(165°)}{1 - \tan^2(165°)} = \frac{2(-\sqrt{3} + 1)}{\frac{2\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}\]

Мы можем перемножить числители и знаменатели:

\[\frac{2\tan(165°)}{1 - \tan^2(165°)} = \frac{2(-\sqrt{3} + 1)(2 + \sqrt{3})}{2\sqrt{3}}\]

Раскроем скобки:

\[\frac{2\tan(165°)}{1 - \tan^2(165°)} = \frac{2(-2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3})}{2\sqrt{3}}\]

Сократим подобные члены:

\[\frac{2\tan(165°)}{1 - \tan^2(165°)} = \frac{2(-3\sqrt{3} + 2)}{2\sqrt{3}}\]

Еще раз сократим дробь на 2:

\[\frac{2\tan(165°)}{1 - \tan^2(165°)} = -\sqrt{3} + 1\]

Итак, выражение \(2\tan(165°)/(1 - \tan^2(165°))\) упрощается до \(-\sqrt{3} + 1\).