Как изменится выражение 2tg165°/(1-tg²165°)? Пожалуйста, выполните задание быстро

Янв 18, 2024

Как изменится выражение 2tg165°/(1-tg²165°)? Пожалуйста, выполните задание быстро.

Ivan

Хорошо, давайте решим эту задачу.

Данное выражение можно преобразовать с помощью тригонометрических тождеств. Начнем с выражения

2 \tan (165 °)

. Зная, что

\tan (180 ° - θ) = - \tan (θ)

, мы можем записать

\tan (165 °) = - \tan (15 °)

.

Теперь применим формулу

\tan (2 θ) = \frac{2 \tan (θ)}{1 - \tan^{2} (θ)}

, чтобы выразить наше исходное выражение через

\tan (15 °)

.

Заменив

\tan (θ)

на

- \tan (15 °)

, мы получим:

2 \tan (165 °) = 2 (- \tan (15 °))

Теперь давайте заменим

\tan (15 °)

в исходном выражении. Но сперва нужно вычислить

\tan (15 °)

.

Мы знаем формулу приведенного угла

\tan (\frac{θ}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}}

. Подставив

θ = 30 °

, мы получим:

\tan (15 °) = \tan (\frac{30 °}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos (30 °)}{1 + \cos (30 °)}}

Вычисляя значение выражения справа, мы получим

\tan (15 °) = \sqrt{3} - 1

.

Теперь вставим это значение обратно в наше исходное выражение:

2 \tan (165 °) = 2 (- \sqrt{3} + 1)

Давайте теперь преобразуем вторую часть нашего исходного выражения

(1 - \tan^{2} (165 °))

.

Используя формулу

\tan^{2} (θ) = \frac{1 - \cos (2 θ)}{1 + \cos (2 θ)}

, заменим

\tan^{2} (165 °)

на

\frac{1 - \cos (330 °)}{1 + \cos (330 °)}

(1 - \tan^{2} (165 °)) = (1 - \frac{1 - \cos (330 °)}{1 + \cos (330 °)})

Для простоты вычислений, заменим

\cos (330 °)

на

\cos (30 °)

. Это означает, что

\cos (330 °) = \cos (30 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}

. Подставим это значение:

(1 - \tan^{2} (165 °)) = (1 - \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}})

Вычисляя значения в скобках, получим:

(1 - \tan^{2} (165 °)) = \frac{1 - \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}

Давайте объединим дроби в числитель и знаменатель:

(1 - \tan^{2} (165 °)) = \frac{(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (1 - \frac{\sqrt{3}}{2})}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}

Вычитая значения в скобках, получаем:

(1 - \tan^{2} (165 °)) = \frac{\frac{2 \sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}

Делаем сокращения:

(1 - \tan^{2} (165 °)) = \frac{\sqrt{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}

Для простоты, давайте рационализируем знаменатель:

(1 - \tan^{2} (165 °)) = \frac{\sqrt{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}

Теперь у нас есть оба преобразования исходного выражения. Давайте объединим их:

\frac{2 \tan (165 °)}{1 - \tan^{2} (165 °)} = \frac{2 (- \sqrt{3} + 1)}{\frac{2 \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}

Для удобства вычислений, мы можем сократить дроби:

\frac{2 \tan (165 °)}{1 - \tan^{2} (165 °)} = \frac{2 (- \sqrt{3} + 1)}{\frac{2 \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}

Мы можем перемножить числители и знаменатели:

\frac{2 \tan (165 °)}{1 - \tan^{2} (165 °)} = \frac{2 (- \sqrt{3} + 1) (2 + \sqrt{3})}{2 \sqrt{3}}

Раскроем скобки:

\frac{2 \tan (165 °)}{1 - \tan^{2} (165 °)} = \frac{2 (- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3})}{2 \sqrt{3}}

Сократим подобные члены:

\frac{2 \tan (165 °)}{1 - \tan^{2} (165 °)} = \frac{2 (- 3 \sqrt{3} + 2)}{2 \sqrt{3}}

Еще раз сократим дробь на 2:

\frac{2 \tan (165 °)}{1 - \tan^{2} (165 °)} = - \sqrt{3} + 1

Итак, выражение

2 \tan (165 °) / (1 - \tan^{2} (165 °))

упрощается до

- \sqrt{3} + 1

Знаешь ответ?

Алгебра

1) What are the points of extremum for the function y=x^3-3x^2? 2) Determine the points of extremum...

Дек 8, 2023

Алгебра

1) Как разложить на множители многочлен 3m+3n+mx+nx? 2) Как разложить на множители многочлен...

Дек 8, 2023

Как изменится выражение 2tg165°/(1-tg²165°)? Пожалуйста, выполните задание быстро

Ivan

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!