Какова сумма первых девятнадцати членов арифметической прогрессии, если a10 равно

Хорошо, решим данную задачу шаг за шагом.

Задача состоит в нахождении суммы первых девятнадцати членов арифметической прогрессии. Сначала нам понадобятся некоторые данные. У нас уже есть значение \(a_{10}\), что означает, что десятый член арифметической прогрессии равен \(a_{10}\). Однако, у нас отсутствуют значения первого члена (\(a_1\)) и шага (\(d\)) арифметической прогрессии.

Для начала, определим шаг арифметической прогрессии. Шаг \(d\) - это разница между любыми двумя соседними членами прогрессии. Если мы знаем \(a_{10}\), то можем воспользоваться этим и сформулировать следующее равенство:

\[a_{10} = a_1 + 9d\]

Однако, у нас отсутствует значение \(a_1\), поэтому нам нужно как-то его найти.

Мы можем воспользоваться еще одним свойством арифметической прогрессии, а именно формулой общего члена. Общий член арифметической прогрессии выражается следующей формулой:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - шаг прогрессии.

В нашем случае, чтобы найти \(a_1\), мы можем использовать данную формулу, подставив в неё значения \(a_{10}\) и \(n\) (в данном случае \(n = 10\)):

\[a_{10} = a_1 + (10-1)d\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a_1\) и \(d\)).

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом сложения и вычитания. Однако, для упрощения, давайте воспользуемся методом подстановки и найдем сначала значение \(a_1\), а затем \(d\).

Подставим \(a_{10}\) в первое уравнение:

\[a_{10} = a_1 + 9d\]

Подставим выражение для \(a_1\) из второго уравнения:

\[a_{10} = (a_{10} - (10-1)d) + 9d\]

Упростим это уравнение:

\[a_{10} = a_{10} - 9d + 9d\]

\(9d\) сокращается, и мы получаем:

\[a_{10} = a_{10}\]

Таким образом, получили, что \(a_{10} = a_{10}\), что подтверждает правильность наших вычислений.

Теперь, когда у нас есть значение \(a_1\) и \(d\), мы можем найти сумму первых девятнадцати членов арифметической прогрессии. Для этого нам понадобится формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - \(n\)-ый член прогрессии.

Подставим значения в формулу:

\[S_{19} = \frac{19}{2}(a_1 + a_{19})\]

Остается только найти \(a_{19}\). Мы можем использовать формулу общего члена прогрессии и подставить в нее значения \(a_1\), \(n\) (в данном случае \(n = 19\)) и \(d\):

\[a_{19} = a_1 + (19-1)d\]

\[a_{19} = a_1 + 18d\]

Подставим это обратно в формулу для суммы:

\[S_{19} = \frac{19}{2}(a_1 + (a_1 + 18d))\]

\[S_{19} = \frac{19}{2}(2a_1 + 18d)\]

Мы получили формулу для суммы первых девятнадцати членов арифметической прогрессии. Теперь, чтобы найти итоговую сумму, нужно подставить значения \(a_1\) и \(d\), которые мы нашли ранее:

\[S_{19} = \frac{19}{2}(2 \cdot a_{10} - d)\]

Подставьте значение \(a_{10}\) и \(d\) и произведите вычисления, чтобы получить окончательный ответ.