Каково множество значений x, для которых функция f(x)=квадратный корень из (x-4)/(x^2-25)?

Для выяснения множества значений x, при которых функция \(f(x)=\sqrt{\frac{x-4}{x^2-25}}\) определена, мы должны рассмотреть два возможных случая, которые могут привести к неопределенности.

Первый случай: Знаменатель равен нулю

Определим значения x, при которых знаменатель равен нулю. В этой функции знаменатель \(x^2-25\) является множителем, поэтому мы должны найти значения x, при которых \(x^2-25=0\).

Решим это уравнение:
\[x^2 - 25 = 0\]

Можно заметить, что это разностный квадрат. После применения формулы разности квадратов, получим:
\[(x-5)(x+5) = 0\]

Таким образом, у нас есть два фактора, каждый из которых равен нулю:
\(x-5=0\) или \(x+5=0\)

Решая эти уравнения, получаем: \(x=5\) или \(x=-5\)

Второй случай: Аргумент квадратного корня меньше нуля

Мы знаем, что квадратный корень может быть определен только для неотрицательных значений. В нашем случае, аргумент квадратного корня должен быть больше или равен нулю:

\[\frac{x-4}{x^2-25} \geq 0\]

Давайте исследуем знаки числителя и знаменателя в интервалах между и за пределами корней -5 и 5, чтобы найти интервалы, для которых функция определена и положительна.

Оценим знаки числителя:
1) Если \(x < -5\), то \(x-4 < -9\). Следовательно, числитель отрицателен.
2) Если \(-5 < x < 4\), то \(x-4\) и \(x^2-25\) будут отрицательными, так как числитель и знаменатель отрицательны.
3) Если \(x > 4\), то \(x-4\) положительно.

Оценим знаки знаменателя:
1) Если \(x < -5\), тогда \(x^2-25\) будет положительным.
2) Если \(-5 < x < 5\), тогда \(x^2-25\) будет отрицательным.
3) Если \(x > 5\), тогда \(x^2-25\) будет положительным.

Теперь мы можем создать таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& x < -5 & -5 < x < 5 & x > 5 \\
\hline
x-4 & - & - & + \\
\hline
x^2-25 & + & - & + \\
\hline
\frac{x-4}{x^2-25} & - & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, функция \(f(x)=\sqrt{\frac{x-4}{x^2-25}}\) будет определена и положительна только в интервале \(-5 < x < 4\).

Итак, множество значений x, для которых функция определена, будет \(x \in (-5, 4)\).