Каково множество значений x, для которых функция f(x)=квадратный корень из (x-4)/(x^2-25)?

Для выяснения множества значений x, при которых функция $f(x)=\sqrt{\frac{x-4}{x^2-25}}$ определена, мы должны рассмотреть два возможных случая, которые могут привести к неопределенности.

Первый случай: Знаменатель равен нулю

Определим значения x, при которых знаменатель равен нулю. В этой функции знаменатель $x^2-25$ является множителем, поэтому мы должны найти значения x, при которых $x^2-25=0$.

Решим это уравнение:
$$x^2-25=0$$

Можно заметить, что это разностный квадрат. После применения формулы разности квадратов, получим:
$$(x-5)(x+5)=0$$

Таким образом, у нас есть два фактора, каждый из которых равен нулю:
$x-5=0$ или $x+5=0$

Решая эти уравнения, получаем: $x=5$ или $x=-5$

Второй случай: Аргумент квадратного корня меньше нуля

Мы знаем, что квадратный корень может быть определен только для неотрицательных значений. В нашем случае, аргумент квадратного корня должен быть больше или равен нулю:

$$\frac{x-4}{x^2-25}\ge 0$$

Давайте исследуем знаки числителя и знаменателя в интервалах между и за пределами корней -5 и 5, чтобы найти интервалы, для которых функция определена и положительна.

Оценим знаки числителя:
1) Если $x<-5$, то $x-4<-9$. Следовательно, числитель отрицателен.
2) Если $-5<x<4$, то $x-4$ и $x^2-25$ будут отрицательными, так как числитель и знаменатель отрицательны.
3) Если $x>4$, то $x-4$ положительно.

Оценим знаки знаменателя:
1) Если $x<-5$, тогда $x^2-25$ будет положительным.
2) Если $-5<x<5$, тогда $x^2-25$ будет отрицательным.
3) Если $x>5$, тогда $x^2-25$ будет положительным.

Теперь мы можем создать таблицу знаков:

$$\begin{array}{|cccc|}\hline & x<-5& -5<x<5& x>5\\ x-4& -& -& +\\ x^2-25& +& -& +\\ \frac{x-4}{x^2-25}& -& +& +\\ \hline\end{array}$$

Таким образом, функция $f(x)=\sqrt{\frac{x-4}{x^2-25}}$ будет определена и положительна только в интервале $-5<x<4$.

Итак, множество значений x, для которых функция определена, будет $x\in (-5,4)$.