Каково математическое ожидание числа «белых пулов», если из ящика с 8 белыми и 6 черными шарами вынимают наудачу

Конечно, давайте посчитаем математическое ожидание числа «белых шаров».

Мы можем использовать формулу для математического ожидания случайной величины. Для этой задачи нам понадобятся два коэффициента - вероятность "белого" события (получения белого шара) и случайная величина "X", которая равна числу белых шаров.

Шаг 1: Рассчитываю вероятность получения белого шара. В ящике общее количество шаров равно 8+6=14, и в этом количестве 8 шаров белые, поэтому вероятность вытащить белый шар равна \(\frac{8}{14}\).

Шаг 2: Определяем случайную величину "X". X - это количество белых шаров, которые мы достали из ящика.

Шаг 3: Теперь мы можем использовать формулу для математического ожидания:

\[\mathbb{E}(X) = \sum_{x=0}^{16} xP(X = x)\]

где P(X = x) - это вероятность того, что X равно x.

Мы должны рассмотреть все возможные значения x от 0 до 16, и для каждого значения умножить его на соответствующую вероятность.

\[ \mathbb{E}(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + ... + 16 \cdot P(X = 16) \]

Для первого значения x = 0, вероятность P(X = 0) такая же, как и вероятность получения 16 черных шаров подряд, что равно \(\left(\frac{6}{14}\right)^{16}\). Умножая 0 на эту вероятность, мы получаем 0.

Для второго значения x = 1, вероятность P(X = 1) такая же, как и вероятность получения 15 черных шаров и 1 белого шара. Эту вероятность можно вычислить, используя комбинаторику и правило умножения.

\(\binom{16}{1} \cdot \left(\frac{8}{14}\right)^1 \cdot \left(\frac{6}{14}\right)^{15}\)

Для третьего значения x = 2, вероятность P(X = 2) такая же, как и вероятность получения 14 черных шаров и 2 белых шара. Эту вероятность можно вычислить, используя комбинаторику и правило умножения.

\(\binom{16}{2} \cdot \left(\frac{8}{14}\right)^2 \cdot \left(\frac{6}{14}\right)^{14}\)

Мы должны продолжать этот процесс, пока не рассчитаем все значения x от 0 до 16. Затем мы умножаем каждое значение x на соответствующую вероятность и складываем все значения, чтобы получить математическое ожидание.

Например, для последнего значения x = 16, вероятность P(X = 16) такая же, как и вероятность получения 16 белых шаров подряд, что равно \(\left(\frac{8}{14}\right)^{16}\). Мы умножаем 16 на эту вероятность.

\[ \mathbb{E}(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) + ... + 16 \cdot P(X = 16) \]

После того, как мы рассчитаем все значения и произведения, мы просто складываем все значения:

\[ \mathbb{E}(X) = \text{сумма всех } x \cdot P(X = x) \]

Теперь вы можете рассчитать математическое ожидание числа «белых шаров» по этой формуле, следуя описанным шагам.