Каково максимальное и минимальное значение радиуса кривизны траектории, если тело брошено под углом φ к горизонту

Дек 23, 2024

Каково максимальное и минимальное значение радиуса кривизны траектории, если тело брошено под углом φ к горизонту с начальной скоростью υ0 с поверхности земли?

Smeshannaya_Salat

Для решения этой задачи нам понадобится уравнение движения тела в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси.

Пусть

x (t)

y (t)

- это координаты тела в момент времени

t

. Мы можем записать уравнения движения следующим образом:

x (t) = υ_{0} \cos (φ) \cdot t

y (t) = υ_{0} \sin (φ) \cdot t - \frac{1}{2} g \cdot t^{2}

где

g

- ускорение свободного падения, примерно равное

9.8 {м/с}^{2}

на поверхности Земли.

Мы знаем, что радиус кривизны

R

кривой можно выразить следующим образом:

R = | \frac{(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2}}{\frac{d^{2} y}{d x^{2}}} |

Давайте произведем некоторые вычисления. Однако перед этим будем скорость. При элементарных преобразованиях можно получить, что:

v (t) = \sqrt{{(\frac{d x}{d t})}^{2} + {(\frac{d y}{d t})}^{2}}

v (t) = \sqrt{(υ_{0} \cos (φ))^{2} + (υ_{0} \sin (φ) - g \cdot t)^{2}}

Теперь можно выразить

\frac{d y}{d x}

может быть найдена с помощью подстановок:

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{υ_{0} \sin (φ) - g \cdot t}{υ_{0} \cos (φ)}

Тогда можно вычислить

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{υ_{0} \sin (φ) - g \cdot t}{υ_{0} \cos (φ)}) = - \frac{g}{υ_{0} \cos (φ)}

Подставив все значения в уравнение для радиуса кривизны, получим:

R = | \frac{(υ_{0} \cos (φ))^{2} + (υ_{0} \sin (φ) - g \cdot t)^{2}}{- \frac{g}{υ_{0} \cos (φ)}} |

В максимальном значении радиуса кривизны мы можем предположить, что

t

равно 0, так как радиус кривизны на верхней точке траектории будет максимальным. Подставляя

t = 0

в уравнение, получим:

R_{макс} = | \frac{(υ_{0} \cos (φ))^{2} + (υ_{0} \sin (φ))^{2}}{- \frac{g}{υ_{0} \cos (φ)}} |

R_{макс} = \frac{υ_{0}^{2}}{g \cdot \cos^{2} (φ)}

Аналогично для минимального значения радиуса кривизны, мы можем предположить, что

t

будет равно времени полета

T

, так как радиус кривизны на конечной точке траектории будет минимальным. Время полета

T

можно выразить следующим образом:

T = \frac{2 υ_{0} \sin (φ)}{g}

Подставляя

t = T

в уравнение для радиуса кривизны, получим:

R_{мин} = | \frac{(υ_{0} \cos (φ))^{2} + (υ_{0} \sin (φ) - g \cdot T)^{2}}{- \frac{g}{υ_{0} \cos (φ)}} |

R_{мин} = \frac{υ_{0}^{2}}{g \cdot \cos^{2} (φ)} \cdot \frac{(υ_{0} \sin (φ) - g \cdot T)^{2}}{υ_{0}^{2} \cos^{2} (φ)}

R_{мин} = \frac{(υ_{0} \sin (φ) - g \cdot T)^{2}}{g \cdot \cos^{2} (φ)}

Таким образом, максимальное значение радиуса кривизны равно

\frac{υ_{0}^{2}}{g \cdot \cos^{2} (φ)}

, а минимальное значение радиуса кривизны равно

\frac{(υ_{0} \sin (φ) - g \cdot T)^{2}}{g \cdot \cos^{2} (φ)}

, где

T = \frac{2 υ_{0} \sin (φ)}{g}

Знаешь ответ?

Физика

Постройте график, отображающий связь между количеством теплоты, выделяемым при охлаждении 1 кг воды...

Дек 21, 2023

Физика

Каков множитель увеличения дозы на поверхности поля облучения при рентгенотерапии, если облучение...

Дек 21, 2023

Каково максимальное и минимальное значение радиуса кривизны траектории, если тело брошено под углом φ к горизонту

Smeshannaya_Salat

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!