Каково максимальное и минимальное значение радиуса кривизны траектории, если тело брошено под углом φ к горизонту

Для решения этой задачи нам понадобится уравнение движения тела в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси.

Пусть \(x(t)\) и \(y(t)\) - это координаты тела в момент времени \(t\). Мы можем записать уравнения движения следующим образом:

\[
x(t) = υ_0 \cos(φ) \cdot t
\]

\[
y(t) = υ_0 \sin(φ) \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2
\]

где \(g\) - ускорение свободного падения, примерно равное \(9.8 \, \text{м/с}^2\) на поверхности Земли.

Мы знаем, что радиус кривизны \(R\) кривой можно выразить следующим образом:

\[
R = \left|\frac{{(\frac{{dx}}{{dt}})^2 + (\frac{{dy}}{{dt}})^2}}{{\frac{{d^2y}}{{dx^2}}}}\right|
\]

Давайте произведем некоторые вычисления. Однако перед этим будем скорость. При элементарных преобразованиях можно получить, что:

\[
v(t) = \sqrt{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)^2 + \left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)^2}
\]

\[
v(t) = \sqrt{(υ_0 \cos(φ))^2 + (υ_0 \sin(φ) - g \cdot t)^2}
\]

Теперь можно выразить \(\frac{{dy}}{{dx}}\) может быть найдена с помощью подстановок:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}} = \frac{{υ_0 \sin(φ) - g \cdot t}}{{υ_0 \cos(φ)}}
\]

Тогда можно вычислить \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}}\):

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{υ_0 \sin(φ) - g \cdot t}}{{υ_0 \cos(φ)}}\right) = -\frac{{g}}{{υ_0 \cos(φ)}}
\]

Подставив все значения в уравнение для радиуса кривизны, получим:

\[
R = \left|\frac{{(υ_0 \cos(φ))^2 + (υ_0 \sin(φ) - g \cdot t)^2}}{{-\frac{{g}}{{υ_0 \cos(φ)}}}}\right|
\]

В максимальном значении радиуса кривизны мы можем предположить, что \(t\) равно 0, так как радиус кривизны на верхней точке траектории будет максимальным. Подставляя \(t = 0\) в уравнение, получим:

\[
R_{\text{макс}} = \left|\frac{{(υ_0 \cos(φ))^2 + (υ_0 \sin(φ))^2}}{{-\frac{{g}}{{υ_0 \cos(φ)}}}}\right|
\]

\[
R_{\text{макс}} = \frac{{υ_0^2}}{{g \cdot \cos^2(φ)}}
\]

Аналогично для минимального значения радиуса кривизны, мы можем предположить, что \(t\) будет равно времени полета \(T\), так как радиус кривизны на конечной точке траектории будет минимальным. Время полета \(T\) можно выразить следующим образом:

\[
T = \frac{{2 υ_0 \sin(φ)}}{{g}}
\]

Подставляя \(t = T\) в уравнение для радиуса кривизны, получим:

\[
R_{\text{мин}} = \left|\frac{{(υ_0 \cos(φ))^2 + (υ_0 \sin(φ) - g \cdot T)^2}}{{-\frac{{g}}{{υ_0 \cos(φ)}}}}\right|
\]

\[
R_{\text{мин}} = \frac{{υ_0^2}}{{g \cdot \cos^2(φ)}} \cdot \frac{{(υ_0 \sin(φ) - g \cdot T)^2}}{{υ_0^2 \cos^2(φ)}}
\]

\[
R_{\text{мин}} = \frac{{(υ_0 \sin(φ) - g \cdot T)^2}}{{g \cdot \cos^2(φ)}}
\]

Таким образом, максимальное значение радиуса кривизны равно \(\frac{{υ_0^2}}{{g \cdot \cos^2(φ)}}\), а минимальное значение радиуса кривизны равно \(\frac{{(υ_0 \sin(φ) - g \cdot T)^2}}{{g \cdot \cos^2(φ)}}\), где \(T = \frac{{2 υ_0 \sin(φ)}}{{g}}\).