Каково максимальное и минимальное значение функции y=-x^2+4x+2 на интервале

Для нахождения максимального и минимального значения функции \(y = -x^2 + 4x + 2\) на заданном интервале, нам понадобятся некоторые знания по дифференциальному исчислению.

Для начала, давайте найдем экстремумы функции. Экстремумы являются точками локального максимума или минимума функции. Для этого возьмем производную функции \(y\) по переменной \(x\), и приравняем ее к нулю:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -2x + 4 = 0
\]

Решим уравнение:

\[
-2x + 4 = 0
\]

Добавим \(2x\) к обеим сторонам уравнения:

\[
4 = 2x
\]

Разделим обе стороны на 2:

\[
x = 2
\]

Таким образом, точка экстремума находится при \(x = 2\).

Для того чтобы определить, является ли данная точка максимумом или минимумом, можно проанализировать значение второй производной в этой точке. Однако, в данном случае, мы можем использовать график функции, чтобы определить, какую форму она имеет.

Посмотрим на график функции:

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines=middle,
xlabel=\(x\),
ylabel=\(y\),
xmin=-3, xmax=5,
ymin=-10, ymax=10,
xtick=\empty, ytick=\empty,
width=10cm, height=6cm,
samples=100
]
\addplot[blue, domain=-3:5]{-x^2 + 4*x + 2};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Из графика видно, что функция представляет собой параболу с коэффициентом отрицательным перед \(x^2\). Поскольку коэффициент перед \(x^2\) отрицательный, парабола будет ветвиться вниз. Так как парабола ветвится вниз, то ее вершина будет являться точкой максимума. Таким образом, точка \(x = 2\) является максимальным значением функции.

Чтобы найти это максимальное значение, мы можем подставить \(x = 2\) в исходную функцию:

\[
y = -(2)^2 + 4(2) + 2
\]

Выполним вычисления:

\[
y = -4 + 8 + 2
\]

\[
y = 6
\]

Таким образом, максимальное значение функции \(y = -x^2 + 4x + 2\) на интервале равно 6.

Чтобы определить минимальное значение функции, нам нужно рассмотреть график функции. Из графика видно, что парабола у ветвит вниз, а значит, она не имеет минимального значения на заданном интервале. Вместо этого, она имеет максимальное значение в точке \(x = 2\).

Надеюсь, этот подробный ответ поможет вам понять, как найти максимальное и минимальное значение функции \(y = -x^2 + 4x + 2\) на заданном интервале. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь вам!