Каково количество восьмизначных телефонных номеров, в которых каждая цифра уникальна и первая цифра равна?

Данная задача связана с комбинаторикой и требует нахождения количества вариантов составления восьмизначных телефонных номеров, удовлетворяющих определенным условиям. Давайте рассмотрим ее пошаговое решение.

Шаг 1: Определение количества вариантов для первой цифры телефонного номера.

У нас дано, что первая цифра телефонного номера равна 3. Так как каждая цифра должна быть уникальной, то у нас есть только один вариант выбора для первой цифры - число 3.

Шаг 2: Определение количества вариантов для оставшихся 7 цифр телефонного номера.

Для оставшихся 7 цифр телефонного номера нам нужно выбрать цифры так, чтобы они были уникальными. Так как первая цифра уже выбрана и равна 3, то у нас остаются 9 возможных цифр для выбора (0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

На первую позицию у нас осталось 7 вариантов цифр для выбора, так как уникальность уже обеспечена выбранным числом 3. На следующую позицию у нас осталось 8 вариантов цифр для выбора, так как первая позиция уже занята и могут быть выбраны любые из оставшихся 8 цифр и так далее.

Таким образом, для выбора оставшихся 7 цифр у нас будет \(7 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3\) возможных комбинаций.

Шаг 3: Расчет итогового количества вариантов.

Для нахождения общего количества восьмизначных телефонных номеров, удовлетворяющих условиям, нужно умножить количество вариантов для первой цифры на количество вариантов для оставшихся 7 цифр.

Таким образом, общее количество восьмизначных телефонных номеров будет равно \(1 \times (7 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3)\).

Проводя вычисления получим:

\[
1 \times (7 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3) = 70560
\]

Итак, количество восьмизначных телефонных номеров, в которых каждая цифра уникальна и первая цифра равна 3, составляет 70560.