Каково количество точек пересечения графиков системы уравнений: y=x^(-3) и у=x^3?

Для решения данной задачи, нам необходимо найти точки пересечения графиков двух уравнений \(y = x^{-3}\) и \(y = x^3\).

Для начала, давайте установим, где графики этих функций пересекаются. Для этого приравняем их:

\[x^{-3} = x^3\]

Чтобы перенести \(x\) в одну степень, решим уравнение в форме \(x^{-3} - x^3 = 0\).

Давайте приведем это уравнение к общему знаменателю:

\[\frac{1}{x^3} - x^3 = 0\]

Теперь умножим оба члена уравнения на \(x^3\):

\[1 - x^6 = 0\]

Разрешите мне представить это уравнение в квадратичной форме:

\[x^6 - 1 = 0\]

Теперь в нашем распоряжении у нас есть уравнение шестой степени. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать методы факторизации разности квадратов.

Заметим, что данное уравнение представляет собой разность квадратов, где \(x^3\) возводится в шестую степень:

\[(x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = 0\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[x^3 - 1 = 0\]
и
\[x^3 + 1 = 0\]

Решим первое уравнение:

\[x^3 - 1 = 0\]

Мы можем применить формулу куба суммы:

\[(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(x\):

\[x_1 = 1\]
\[x_2 = -1\]

Теперь решим второе уравнение:

\[x^3 + 1 = 0\]

Мы также можем применить формулу куба суммы:

\[(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0\]

Таким образом, у нас есть одно дополнительное значение \(x\):

\[x_3 = -1\]

Следовательно, мы нашли три точки пересечения графиков системы уравнений:
\(x = 1\), \(x = -1\) и \(x = -1\).