Каково количество путей длины 3 в турнире на 6 вершинах, где отсутствуют циклы? (Длина пути определяется количеством

Чтобы определить количество путей длины 3 в турнире на 6 вершинах без циклов, мы можем использовать комбинаторный подход.

Давайте разберемся с термины и определениями, чтобы было более понятно.

Турнир - это ориентированный граф, в котором между каждой парой вершин существует ребро, направленное от одной вершины к другой.

Длина пути - это количество ребер в пути. В нашем случае, мы ищем пути длиной 3, то есть пути, состоящие из трех ребер.

Циклы - это пути, которые начинаются и заканчиваются на одной и той же вершине. В данной задаче нам нужно исключить циклы, так как нам требуется найти пути различной длины.

Теперь, чтобы решить эту задачу, давайте вначале построим граф, представляющий турнир на 6 вершинах.

(| )
(→ )
( →)
(← )
(| )
( |)

Здесь каждое ребро представляет собой направленное соединение между двумя вершинами. Символы "|", "->" и "<-" указывают на направление ребра.

Теперь рассмотрим различные пути длиной 3 в этом графе.

Давайте разобьем наши пути на две группы: пути, начинающиеся и заканчивающиеся на одной вершине, и пути, не начинающиеся и не заканчивающиеся на одной вершине.

1. Пути, начинающиеся и заканчивающиеся на одной вершине.
Для каждой вершины графа у нас есть 5 других вершин, к которым мы можем подключиться (исключая начальную вершину, которая уже выбрана). Это может быть любая из 5 оставшихся вершин. Поскольку мы ищем пути длиной 3, у нас есть 5 возможных выборов для первой вершины в пути, 5 возможных выборов для второй вершины и 5 возможных выборов для третьей вершины. Всего у нас будет 5 * 5 * 5 = 125 путей в этой категории.

2. Пути, не начинающиеся и не заканчивающиеся на одной вершине.
Для каждой вершины графа у нас есть 4 возможные вершины, к которым мы можем подключиться (исключая начальную и конечную вершины, которые уже выбраны). Это может быть любая из 4 оставшихся вершин. В данном случае, у нас также есть 5 возможных выборов для начальной и конечной вершин пути (каждая из 6 вершин может быть начальной и одна из оставшихся 5 - конечной). Всего у нас будет 5 * 5 * 4 * 5 * 4 = 2000 путей в этой категории.

Теперь, чтобы найти общее количество путей длиной 3 без циклов, мы просто складываем количество путей из двух категорий: 125 + 2000 = 2125.

Таким образом, в турнире на 6 вершинах, количество путей длиной 3 без циклов равно 2125.