Каково количество авторучек синего цвета в коробке, если среди двух одновременно вытянутых авторучек вероятность

Чтобы решить эту задачу, давайте введем несколько обозначений и определим вероятности.

Пусть \(x\) будет количество синих авторучек в коробке, а \(y\) - количество красных авторучек в коробке.

Мы знаем, что в коробке находится 9 одинаковых авторучек красного и синего цвета. Это значит, что сумма \(x\) и \(y\) должна быть равна 9:

\[x + y = 9\]

Также, нам дано, что вероятность вытащить две красные авторучки одновременно равна 1/12. Для того чтобы понять, как найти это количество, давайте рассмотрим следующее:

Количество способов выбрать 2 авторучки из \(y\) (красных авторучек) равно \(C(y, 2)\) (что обозначает число сочетаний из \(y\) элементов по 2). А общее количество способов выбрать 2 авторучки из всего количества авторучек в коробке (9) равно \(C(9, 2)\). Таким образом, вероятность выбрать 2 красные авторучки будет равна:

\[\frac{{C(y, 2)}}{{C(9, 2)}} = \frac{1}{12}\]

Для разрешения этого уравнения, нам нужно найти значения \(x\) и \(y\), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Теперь, давайте посмотрим на пошаговое решение.

1. Решим первое уравнение:
\[x + y = 9\]

Мы можем выразить \(x\) через \(y\) или наоборот. Давайте выразим \(x\) через \(y\):
\[x = 9 - y\]

2. Заменим \(x\) во втором уравнении:
\[\frac{{C(y, 2)}}{{C(9, 2)}} = \frac{1}{12}\]

Подставим значение \(x\) в данное уравнение:
\[\frac{{C(y, 2)}}{{C(9, 2)}} = \frac{1}{12}\]
\[\frac{{C(y, 2)}}{{C(9, 2)}} = \frac{1}{12}\]

Теперь, нам нужно найти \(y\) такое, чтобы это уравнение выполнялось.

3. Решим второе уравнение:
\[\frac{{C(y, 2)}}{{C(9, 2)}} = \frac{1}{12}\]

Раскроем числитель:
\[\frac{{\frac{{y!}}{{(y-2)! \cdot 2!}}}}{{\frac{{9!}}{{(9-2)! \cdot 2!}}}} = \frac{1}{12}\]

Упростим выражение:
\[\frac{{y! \cdot 2! \cdot (9-2)!}}{{(y-2)! \cdot 9! \cdot 2!}} = \frac{1}{12}\]
\[\frac{{y! \cdot 7! \cdot 2!}}{{(y-2)! \cdot 9! \cdot 2!}} = \frac{1}{12}\]

Упростим дальше:
\[\frac{{y! \cdot 7!}}{{(y-2)! \cdot 9!}} = \frac{1}{12}\]

Поделим числитель и знаменатель на \(7!\):
\[\frac{{y!}}{{(y-2)! \cdot 9!}} = \frac{1}{12}\]

Упростим выражение:
\[\frac{{y!}}{{(y-2)! \cdot 9!}} = \frac{1}{12}\]

Раскроем знаменатель:
\[y! = \frac{1}{12} \cdot (y-2)! \cdot 9!\]

Теперь, у нас есть уравнение с факториалами. Давайте продолжим его решение.

4. Упростим уравнение:
\[y! = \frac{(y-2)! \cdot 9!}{12}\]

Раскроем факториалы:
\[y \cdot (y-1)! = \frac{(y-2)! \cdot 9!}{12}\]

Сократим факториалы:
\[y = \frac{(y-2)! \cdot 9!}{12 \cdot (y-1)!}\]

Обратите внимание, что (y-1)! можно сократить с (y-2)!:
\[y = \frac{9!}{12 \cdot (y-1)}\]

5. Подставим этот результат обратно в первое уравнение:
\[x + y = 9\]

Получим:
\[x + \frac{9!}{12 \cdot (y-1)} = 9\]

Теперь, достаточно просто найти \(x\) и \(y\) из этого уравнения.

Подведем итоги:

Мы получили систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 9 \\ x + \frac{9!}{12 \cdot (y-1)} = 9 \end{cases}\]

Теперь, можно решить эту систему уравнений для получения конкретных значений \(x\) и \(y\).

Окончательный ответ будет содержать два значения: \(x\) и \(y\), которые определяют количество синих и красных авторучек в коробке соответственно.