Каково фокусное расстояние вогнутого зеркала, если его действительное изображение предмета превышает его размеры

Данная задача связана с оптикой и использует понятия фокусного расстояния и увеличения зеркала. Чтобы найти фокусное расстояние вогнутого зеркала в данной задаче, воспользуемся известными данными и логикой решения.

По условию задачи, изображение предмета вогнутым зеркалом превышает его размеры в три раза. То есть, увеличение зеркала равно 3. После того, как предмет отодвинули от зеркала на 80 см, его изображение стало в два раза меньше исходного. То есть, новое увеличение равно 0.5.

Увеличение зеркала можно выразить через фокусное расстояние формулой:
\[Увеличение = \frac{{-f}}{{R}}\]
где f - фокусное расстояние, R - радиус кривизны зеркала.

Подставим известные данные в данную формулу:
\[3 = \frac{{-f}}{{R}}\]

Также, после отодвигания предмета от зеркала на 80 см, увеличение стало равно 0.5. То есть:
\[0.5 = \frac{{-f}}{{R + 80}}\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (f и R). Решим эту систему уравнений с помощью метода подстановки.

Из первого уравнения найдем f:
\[f = -3R\]

Подставим это значение во второе уравнение:
\[0.5 = \frac{{-(-3R)}}{{R + 80}}\]
\[0.5 = \frac{{3R}}{{R + 80}}\]

Умножим обе части уравнения на (R + 80):
\[0.5(R + 80) = 3R\]
\[0.5R + 40 = 3R\]
\[2.5R = 40\]

Разделим обе части уравнения на 2.5:
\[R = \frac{{40}}{{2.5}}\]
\[R = 16\]

Теперь найдем значение f, подставив найденное значение R в первое уравнение:
\[f = -3R\]
\[f = -3 \cdot 16\]
\[f = -48\]

Таким образом, фокусное расстояние вогнутого зеркала равно -48 см. Ответом будет \(f = -48\) см.